Nghiêng độc đáo của hình vuông

Chúng tôi muốn ngói -square sử dụng hai loại gạch: gạch -square và gạch -square như vậy mà mỗi vuông cơ bản được bảo hiểm mà không chồng chéo. Hãy để chúng tôi xác định một hàm cho kích thước của hình vuông duy nhất có thể cho phép lớn nhất bằng cách sử dụng và bất kỳ số nào . $m\times m$ $1 \times 1$ $2 \times 2$ $f(n)$ $n$ $1\times 1$ $2 \times 2$

Là chức năng này tính toán? Thuật toán là gì?

EDIT1: Dựa trên câu trả lời của Steven, ốp lát độc đáo có nghĩa là có một cách để đặt vào bên trong vuông với cấu hình duy nhất cho các vị trí của -squares bên trong vuông. $2 \times 2$ $m \times m$ $n$ $1 \times 1$ $m \times m$

computability combinatorics

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

Làm thế nào là một tilling duy nhất được định nghĩa? Ví dụ, có thể có 4 nhánh đối xứng. Họ sẽ là duy nhất hay không?

— Paresh

Nghiêng đối xứng được tính là một cấu hình.

— Mohammad Al-Turkistany

sử dụng

bình phương 1 trên 1 hay sử dụng tối đa

? mặt khác,

không phải luôn luôn được xác định: bạn không thể xếp bất kỳ ô vuông nào bằng 2 ô 1 và 1 số ô 2 x 2, vì diện tích sẽ là

và 2 không phải là phần dư bậc hai. còn bởi đối xứng, ý bạn là nhóm dih thờ

n

$n$

n

$n$

f

$f$

4 x + 2

$4x + 2$

D_{4}

$D_4$

— Sasho Nikolov

Đồng ý. Trên các trường hợp đó xác định

. Tôi không quen thuộc với nhóm dih thờ D4.

f (n) = 0

$f(n)=0$

— Mohammad Al-Turkistany

Tôi sợ rằng tôi vẫn còn thua lỗ - một ví dụ sẽ đi một chặng đường dài để giúp hiểu, có lẽ. Làm thế nào để câu trả lời không trả lời câu hỏi?

— Steven Stadnicki

Đây là một lập luận để chứng minh suy đoán của tôi trong các nhận xét rằng không có trường hợp độc nhất nào như vậy tồn tại cho bất kỳ không vuông nào . Đầu tiên, như Sasho đã lưu ý trong các bình luận, phải được hạn chế, bởi vì không có các lát như vậy tồn tại nếu hoặc . Nếu là một hình vuông hoàn hảo thì rõ ràng hình vuông có thể điều chỉnh duy nhất, vì vậy được xác định rõ ràng và khác không trong các trường hợp này. Để hoàn thành đối số, chỉ còn cho thấy rằng không có lát nào liên quan đến hoặc nhiều hơn gạch có thể là duy nhất. $n\gt 5$ $n$ $n\equiv2$ $3\pmod 4$ $n$ $n=k^2$ $k\times k$ $f(n)$ $1$ $2\times 2$

Trước tiên, hãy xem xét trường hợp , giả sử . Nếu chúng ta có một lát vuông của vuông bằng gạch, rõ ràng phải là số chẵn, giả sử ; sau đó chúng ta có thể xây dựng các lát bằng cách xây dựng một lát gạch của và sau đó thay thế của các ô này bằng 'các khối' của bốn ô . Rõ ràng là sự thay thế khác nhau luôn có thể dẫn đến các góc khác nhau ngoại trừ trong các trường hợp hoặc trong đó có một lần $n\equiv 0\pmod 4$ $n=4k$ $m\times m$ $n\ 1\times 1$ $m$ $m=2j$ $j\times j$ $2\times2$ $k$ $1\times 1$ $m=4, n=12$ $m=4, n=4$ $2\times 2$ gạch hoặc một 'khối bốn' còn lại; tuy nhiên, trong những trường hợp này, có một lát gạch không tương đương khác nhau, một lát đặt một lát ở giữa một cạnh thay vì ở một góc. $2\times 2$

Cuối cùng, giả sử , cụ thể là giả sử (và với để ngăn trường hợp hơi tầm thường khi đơn giản là 'không đủ chỗ' trong ô vuông để đối số sau đi qua ). Sau đó, không có hình vuông nào có kích thước hoặc nhỏ hơn có thể được điều chỉnh duy nhất: xem xét lát gạch với gạch trên đỉnh của hình vuông và xuống bên phải hình vuông (có thêm gạch chỉ nằm gọn về phía bên phải - chúng không thể ảnh hưởng đến đối số). Bây giờ, 'khối' ở góc trên bên trái của hình vuông (bao gồm hai ô ở trên cùng và $n\equiv 1\pmod 4$ $n=4t+1$ $t\gt 1$ $(2t+1)^2$ $1\times 1$ $1\times 1$ $2\times 3$ $1\times 1$ $2\times 2$ lát gạch bên dưới chúng) có thể được 'lật' để tạo ra một lát gạch nhất thiết phải khác với ốp lát chúng ta đã xây dựng. Cuối cùng, không có hình vuông nào có kích thước lớn hơn có thể điều chỉnh được: giả sử chúng ta đang cố gắng xếp một hình vuông có kích thước cho ; sau đó theo nguyên tắc pigeonhole, chúng ta không thể đặt nhiều hơn gạch lên hình vuông, điều đó có nghĩa là có ô vuông còn lại - nhưng vì , , số lượng gạch chúng tôi có sẵn. $(2t+1)^2$ $(2s+1)^2$ $s\gt t$ $s^2\ 2\times 2$ $(2s+1)^2-4s^2 = 4s^2+4s+1-4s^2=4s+1$ $s\gt t$ $4s+1\gt 4t+1=n$ $1\times 1$

Do đó, các độ nghiêng duy nhất tồn tại cho là các lát không sử dụng gạch và chỉ khác không khi là một hình vuông (trong trường hợp này bằng ). $n\gt 5$ $2\times 2$ $f(n)$ $n$ $\sqrt{n}$

— Steven Stadnicki
nguồn

vì tôi đã tìm thấy phần mà bạn nhét các ô còn lại 1 cho 1 vào iffy bên phải (có thể không có lý do), đây là một cái nhìn hơi khác về trường hợp và kích thước của hình vuông là . lưu ý rằng hoặc . trong cả hai trường hợp, phải mất 1 by 1 để tạo đường viền có độ dày 1 cho hình vuông. sau đó chúng tôi còn lại với 1 by 1 gạch. trong trường hợp chúng ta có và bạn đã xử lý vấn đề đó. nếu không, chúng tôi đã giảm xuống đoạn trước.

n = 4 t + 1

$n = 4t + 1$

x^{2} < (2 t + 1)^{2}

$x^2 < (2t + 1)^2$

x \equiv 1

$x \equiv 1$

x \equiv 3 (\mod 4)

$x \equiv 3 \pmod 4$

2 x - 1 \equiv 1 (\mod 4)

$2x - 1 \equiv 1 \pmod 4$

n^{'} \equiv 0 (\mod 4)

$n' \equiv 0 \pmod 4$

n^{'} = 0

$n' = 0$

x = 2 t + 1

$x = 2t + 1$

— Sasho Nikolov

Ốp lát độc đáo hợp lệ phải sử dụng cả hai loại gạch. Xin lỗi vì đã không nêu rõ trong câu hỏi của tôi.

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany Steven chứng minh ở trên rằng không có loại gạch độc đáo nào như vậy tồn tại cho . trong thực tế, ốp lát duy nhất "hợp lệ" theo định nghĩa của bạn là cho (một ô 2 nhân 2 và một "góc" 5 5 by 1).

n > 5

$n>5$

n = 5

$n=5$

— Sasho Nikolov

2 \times 2

$2 \times 2$

m \times m

$m \times m$

@Steven, câu trả lời của bạn giải quyết được câu hỏi ban đầu nhưng nó không chính xác là điều thúc đẩy tôi đặt câu hỏi. Tôi hy vọng bạn không bị làm phiền bằng cách sửa đổi câu hỏi như tôi đã mô tả nó trong phần bình luận trước.

— Mohammad Al-Turkistany