Tìm min chung trong thời gian logarit

Tôi đang tìm kiếm một cấu trúc dữ liệu để lưu trữ một tập hợp sao cho hai trường hợp kích thước $O(n)$ được biết là có giao lộ không trống, yếu tố tối thiểu của giao lộ có thể được tìm thấy trong $O(\log n)$thời gian. Điều này có thể đạt được, cho trường hợp xấu nhất hoặc phức tạp khấu hao? Các yêu cầu khác cho cấu trúc dữ liệu:$O(\log n)$ xóa, $O(n \log n)$ khởi tạo.

Dưới đây là một ứng dụng ví dụ về cấu trúc dữ liệu như vậy, để làm rõ các yêu cầu. Đầu vào bao gồm n tập con của$\{1, ..., n\}$tất cả đều chứa số n. Đầu ra là một ma trận n by n có$i, j$mục nhập là phần tử tối thiểu trong giao điểm của bộ i và j. Với cách tiếp cận cơ bản, người ta có thể giải quyết vấn đề này trong$O(n^3)$thời gian. Với cấu trúc dữ liệu thỏa mãn các điều kiện trên, người ta có thể giải quyết nó trong$O(n^2 \log n)$ thời gian.

Bạn không thể. Không có cấu trúc dữ liệu như vậy. Giả sử bạn có một phiên bản riêng cho mỗi bộ và mỗi phiên bản được khởi tạo riêng (chỉ sử dụng thông tin về bộ mà nó đại diện và không có bất kỳ thông tin nào về bất kỳ bộ nào khác), những thời gian chạy này không thể đạt được.

Đặc biệt, khi bạn có hai bộ, việc tìm phần tử chung tối thiểu mất $\Omega(n)$thời gian. Thật vậy, kiểm tra sự khác biệt đòi hỏi$\Omega(n)$thời gian, như được giải thích ở đây . Bây giờ, hãy tưởng tượng bắt đầu với hai bộ$S_1,S_2$ trên vũ trụ $\{1,2,\dots,n-1\}$. Để cho$T_1=S_1 \cup \{n\}$ và $T_2 = S_2 \cup \{n\}$. Hiện nay$T_1,T_2$được đảm bảo có một yếu tố chung. Vì vậy, nếu bạn có cấu trúc dữ liệu tốt cho vấn đề của mình, hãy lưu trữ$T_1$ trong một ví dụ của cấu trúc dữ liệu và $T_2$trong một cái khác Sau đó, nếu chúng ta có cách tìm yếu tố tối thiểu là$T_1 \cap T_2$ trong $o(n)$ thời gian, điều này sẽ cho chúng ta một cách để kiểm tra sự rời rạc của $S_1,S_2$ trong $o(n)$ thời gian (chỉ kiểm tra xem phần tử tối thiểu có nhỏ hơn không $n$) - nhưng chúng tôi đã biết sau này là không thể. Theo sau đó, điều này là không thể, tức là, bất kỳ cấu trúc dữ liệu nào cho vấn đề của bạn phải mất$\Omega(n)$ thời gian để tìm phần tử chung tối thiểu của hai bộ.

Điều này không có nghĩa là ứng dụng của bạn không thể được giải quyết một cách hiệu quả. Vẫn có thể có một cách để giải quyết ứng dụng của bạn trong$O(n^2 \log n)$thời gian; kết quả này không loại trừ điều đó.

Đây là một ý tưởng để giải quyết vấn đề, đưa ra 2 bộ:

Bạn có thể giữ "bộ" bằng một cây đen đỏ. Ngoài ra, với mỗi nút trong cây, chúng tôi liên kết một bit để xác định xem cây con của nó có chứa một phần tử trong cả hai bộ không. Để trình bày, nó được gọi là bit chèn . Tôi giả sử cây đen đỏ sắp xếp các yếu tố từ trái sang phải.

Khi chèn một phần tử vào cây, thuật toán sẽ kiểm tra xem phần tử đó có tồn tại trong cây không (tức là trong phần còn lại của tập hợp). Nếu không- chúng ta chèn phần tử như bình thường. Nếu không, bằng cách di chuyển từ gốc đến lá chứa phần tử, thuật toán sẽ bật bit chèn của các nút tương ứng. Trong trường hợp xấu nhất phải mất$O(\log n)$.

Khi xóa một phần tử, thuật toán sẽ kiểm tra xem phần tử đó có tồn tại trong cây không và nếu bit chèn được bật. Nếu phần tử không tồn tại trong cây- chúng ta sẽ trả về lỗi. Nếu phần tử tồn tại và bit chèn bị tắt, thì chúng ta xóa phần tử như trong thuật toán cây Đen Đen. Mặt khác, bằng cách di chuyển từ gốc đến lá chứa phần tử, thuật toán sẽ tắt bit chèn của các nút tương ứng. Xóa mất$O(\log n)$.

Cuối cùng, thuật toán tìm phần tử tối thiểu được chia sẻ bởi cả hai bộ bắt đầu bằng thư mục gốc. Nếu bit chèn của root bị tắt- thì các tập hợp bị tách rời, thuật toán trả về lỗi. Mặt khác, thuật toán di chuyển đệ quy đến con trái nếu bit chèn của nó được bật và nếu không nó sẽ di chuyển sang con phải. Thuật toán dừng lại ở phần tử có giá trị tối thiểu. Thuật toán chạy ở$O(\log n)$.

Tôi đang cố gắng nghĩ làm thế nào để khái quát hóa cho số lượng lớn hơn các bộ ...

Khởi tạo:
1) tạo cây đỏ đen chứa tất cả các thành phần của danh sách # 1 - O (n log n) cho toàn bộ danh sách.
2) lặp qua tất cả các phần tử của danh sách # 2 và kiểm tra xem nó có tồn tại trong cây đỏ-đen không - O (n log n) cho toàn bộ danh sách
3) nếu nó tồn tại trong cây đỏ-đen, hãy chèn phần tử đó vào danh sách # 2 vào heap tối thiểu yêu thích của bạn - O (n log n) cho toàn bộ danh sách

Để sau đó tìm kiếm, tìm phần tử giao nhau tối thiểu, chỉ cần nhìn vào đỉnh của heap, vì vậy đó là O (1).