Dư lượng bậc hai và bao thanh toán số nguyên

Tôi thường đọc mà quyết định có hay không một số là một modulo cặn bậc hai là một thú vị (và cứng) vấn đề từ lý thuyết số (đặc biệt là nếu là không nguyên tố). $r$ $n$ $n$

Tôi đang xem xét trường hợp đặc biệt sau đây của vấn đề này: Đặt và là hai số nguyên tố khác nhau và . Cho từ đến . Quyết định xem có tồn tại sao cho . $p$ $q$ $n:=pq$ $r$ $1$ $n$ $x\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $x^2\equiv r\pmod{n}$

Câu hỏi của tôi là: Phiên bản chức năng của vấn đề này, tức là "Tìm một $x$ như trên" mang lại một thuật toán ngẫu nhiên cho bao thanh toán số nguyên. Vì vậy, nó rất thú vị vì những lý do thực tế như "phá vỡ RSA". Có bất kỳ kết quả như vậy cho phiên bản quyết định của vấn đề này? Nếu không, những vấn đề điển hình nào cho chúng ta nghĩ rằng quyết định cư trú bậc hai thì đó là một vấn đề khó?

Và hơn nữa, trường hợp đặc biệt tôi đang xem xét thực sự là một trường hợp đặc biệt? Hoặc tôi có thể giải quyết trường hợp chung với một tùy ý $n$ với một lời tiên tri cho vấn đề quyết định ở trên không?

cryptography number-theory

— sinh ra
nguồn

Xem bài viết Wikipedia về vấn đề dư lượng bậc hai . Không có nhiều, nhưng nó được liệt kê như một giả định độ cứng tính toán riêng biệt hơn so với vấn đề bao thanh toán và các vấn đề khác. Và mặc dù chúng ta không biết để cho chúng ta yếu tố , nó cho phép chúng ta biết liệu là sản phẩm của hay số nguyên tố. (Cũng có những trường hợp thật dễ dàng để trả lời Không, trong thực tế đó là trường hợp cho một nửa của tất cả các ví dụ ; những gì đang cứng được phân biệt trong nửa còn lại các trường hợp Có từ trường Không.)

n

$n$

n

$n$

2

$2$

3

$3$

r

$r$

— ShreevatsaR

Tibor Jager và Jörg Schwenk thể hiện trong Độ khó chung của các vấn đề thành viên tập hợp con theo Giả định bao thanh toán làm giảm việc phân biệt dư lượng bậc hai với các số có ký hiệu Jacobi 1, cho các thuật toán vòng chung . Đây là các thuật toán chỉ có "API" cho số nguyên là các phép toán vòng (cộng, nhân, trừ, chia), so sánh đẳng thức và tạo ra một phần tử ngẫu nhiên. Họ cũng chỉ ra rằng biểu tượng Jacobi, có thể được tính toán hiệu quả trong thời gian đa thức, không có thuật toán vòng chung hiệu quả. Vì vậy, kết quả của họ không trả lời câu hỏi của bạn, ngoài việc ngụ ý rằng câu trả lời không được biết.

— Yuval Filmus
nguồn