Các thành phần kết nối mạnh mẽ

Đối với một biểu đồ được định hướng thay đổi, tôi muốn duy trì thông tin về các thành phần được kết nối mạnh mẽ. Các hoạt động đồ thị là gia tăng: chỉ bổ sung đỉnh và bổ sung cạnh. Những cấu trúc dữ liệu nào đạt được độ phức tạp khấu hao được biết đến nhiều nhất cho các hoạt động này?

Nếu đồ thị không bị ảnh hưởng, câu trả lời sẽ là cấu trúc tìm kết hợp. Và như các đồ thị vô hướng có thể được xem như là trường hợp đặc biệt của đồ thị có hướng, nên (siêu nhẹ) bao gồm các siêu giới hạn thấp hơn bao giờ hết.

Đối với giới hạn trên tuyến tính, các thành phần được kết nối mạnh có thể được tính từ đầu sau mỗi lần thêm cạnh, mà không cần tái chế bất kỳ dữ liệu nào. Tôi tự hỏi nếu có cách nào để làm tốt hơn.

Trong cài đặt nơi tôi cần điều này, bằng cách nào đó tôi mong đợi các SCC không tầm thường là ngoại lệ thay vì quy tắc. Và trong sự vắng mặt của các chu kỳ tôi có thể đạt được tổng thời gian tuyến tính (đó là thời gian không đổi được khấu hao cho mỗi hoạt động). [EDIT:] Hãy để tôi nói rõ ý của tôi. Tất nhiên, trong sự vắng mặt của các chu kỳ, tôi không cần phải theo dõi các SCC nào cả. Thời gian cố định được khấu hao là dành cho những gì tôi làm trong cài đặt của mình bên cạnh các SCC đáng lo ngại.

Vì vậy, tôi cũng sẽ quan tâm đến các cấu trúc dữ liệu, nói chung, không tốt hơn giới hạn trên nhưng sử dụng thời gian không đổi được khấu hao cho mỗi hoạt động miễn là đồ thị vẫn là DAG.

Theo hiểu biết tốt nhất của tôi, thuật toán tốt nhất cho các thành phần được kết nối giảm dần được trình bày trong [1] với tổng thời gian cập nhật dự kiến .$O(m \sqrt{n} \log n)$

[1] Khả năng tiếp cận nguồn đơn giảm dần và các thành phần được kết nối mạnh mẽ trong Õ (m√n) Tổng thời gian cập nhật - Shiri Chechik, Thomas Dueholm Hansen, Giuseppe F. Italiano, Jakub cki, Nikos Parotsidis - https://ieeexplore.ieee / tài liệu / 7782945 - FOCS 2016

Cập nhật: Thuật toán tốt nhất mới cho các SCC giảm dần là được trình bày trong [5]$O(m (\log n)^4)$

[5] Các thành phần được kết nối mạnh mẽ và khả năng tiếp cận nguồn đơn trong thời gian gần tuyến tính - Aaron Bernstein, Maximilian Probst, Christian Wulff-Nilsen - https://arxiv.org/abs/1901.03615 - được chấp nhận tại STOC 2019

Các thuật toán tốt nhất cho gia tăng các thành phần kết nối mạnh mẽ được trình bày trong [2] với cập nhật thời gian mỗi cạnh.$O(m^{1/2})$

[2] Phát hiện chu kỳ tăng dần, đặt hàng tôpô và bảo trì thành phần mạnh mẽ - Bernhard Haeupler, Telikepalli Kavitha, Rogers Mathew, Siddhartha Sen, Robert Endre Tarjan - https://arxiv.org/abs/1105.2394 - 2012 ACM Trans. Thuật toán

Đó là một câu hỏi mở nếu hai vấn đề đó có thể được giải quyết nhanh hơn.

Đối với các thành phần kết nối mạnh mẽ hoàn toàn năng động, giới hạn dưới có điều kiện được biết đến. Giới hạn dưới trong trường hợp xấu nhất cũng được biết đến với việc bảo trì thành phần được kết nối giảm dần / tăng dần. Để biết chi tiết, hãy xem trong [3] và [4].

[3] Thống nhất và tăng cường độ cứng cho các vấn đề động thông qua phỏng đoán nhân ma trận trực tuyến - Monika Henzinger, Sebastian Krinninger, Danupon Nanongkai, Thatchaphol Saranurak - https://arxiv.org/pdf/1511.06773.pdf - STOC 2015

[4] Những phỏng đoán phổ biến ngụ ý giới hạn dưới mạnh mẽ cho các vấn đề động - Amir Abboud, Virginia Vassilevska Williams - https://arxiv.org/pdf/1402.0054.pdf - FOCS 2014

Tất cả các kết quả này giữ cho đồ thị chung. Kết quả tốt hơn được biết đến với đồ thị phẳng.

Kết quả mà bạn đề cập về DAGs được biết đến:

Hiệu quả khấu hao của cấu trúc dữ liệu truy xuất đường dẫn - GF Italiano - https://www.scTHERirect.com/science/article/pii/0304397586900988 - TCS 1986