Ý nghĩa của vấn đề Dừng

Vấn đề dừng được định nghĩa là:

$H_{TM} = \{ \langle M, w \rangle \mid \text{\(M\) halts on input \(w\)}\}$

Tôi không chắc nó có nghĩa gì. Là$H_{TM}$ một bộ sưu tập Máy Turing sao cho tất cả chúng chấp nhận / từ chối từ này $w$? Đó có phải là một từ cụ thể? Hay điều đó có nghĩa là bất kỳ từ nào trong bảng chữ cái của họ?

Cảm ơn

Tập hợp (hoặc ngôn ngữ nếu bạn muốn) $H_{TM}$là một cặp $(M,w)$ Ở đâu $w$ là bất kỳ chuỗi nào trong bảng chữ cái của bạn và $M$ là một máy Turing, và $M$ dừng lại với $w$ làm đầu vào.

Điều này có nghĩa là một cặp $P = (M,w)$ nằm trong bộ $H_{TM}$ nếu và chỉ nếu $M(w) \downarrow$.

Quyết định bộ này là tuy nhiên không thể. Không có máy Turing nào chấp nhận ngôn ngữ này và không có gì hơn thế. Đây là một phiên bản của vấn đề tạm dừng (do đó$H$).

Trước tiên chúng tôi chọn một bảng chữ cái các ký hiệu mà máy Turing của chúng tôi có thể đọc và ghi trên băng. Thông thường chúng ta có ba biểu tượng:$0$, $1$và "trống rỗng". Một từ là một chuỗi các ký hiệu hữu hạn.

Nếu $u$ và $v$ là những từ chúng ta có thể tạo thành một từ mới $\langle u, v \rangle$ đại diện cho hai từ ghép lại với nhau (điều này đòi hỏi một số mã hóa để chúng ta có thể biết nơi một từ dừng lại và từ còn lại bắt đầu).

Một máy Turing có thể được mô tả bằng một từ.

Giống như trong tất cả các vấn đề quyết định, $H_{TM}$là một tập hợp các từ . Chính xác hơn$H_{TM}$ chứa tất cả những từ có dạng $\langle M,w \rangle$ Ở đâu $M$ là một máy Turing, $w$ là bất kỳ từ nào, và $M$ tạm dừng khi chúng tôi chạy nó với đầu vào $w$.

đây là một định nghĩa đơn giản / không chính thức về vấn đề tạm dừng với ngôn ngữ biểu tượng / toán học tối thiểu. đầu tiên, hãy xem xét máy Turing . Máy Turing giải quyết các vấn đề khác nhau dựa trên (lập trình thông qua) bảng trạng thái của chúng.

bây giờ, bảng trạng thái của bất kỳ máy Turing nào cũng có thể được mã hóa thành một chuỗi, giống như bất kỳ đầu vào nào cho máy Turing. bây giờ hãy xem xét một máy giả định${TM}_H$ chấp nhận một cặp mã hóa của bảng trạng thái của máy $M$và một chuỗi đầu vào $w$: $\langle M, w \rangle$. giả sử điều này$TM_H$ chấp nhận máy iff đầu vào (nếu và chỉ nếu) $M$ tạm dừng đầu vào $w$. bằng chứng vấn đề tạm dừng nổi tiếng của Turing (1936),${TM}_H$ không thể tồn tại, tức là "vấn đề" này không thể giải quyết được.

các $H_{TM}$bạn mô tả là mô tả của cùng một vấn đề về mặt thành viên tập hợp / ngôn ngữ. một chuỗi trong tập hợp$H_{TM}$ iff $M$ dừng lại $w$.