Các nhà điều hành quay đầu hàng đầu có nghĩa là gì?

12

Tôi biết rằng các tác giả khác nhau sử dụng các ký hiệu khác nhau để thể hiện ngữ nghĩa ngôn ngữ lập trình. Như một vấn đề thực tế Guy Steele giải quyết vấn đề này trong một video thú vị .

Tôi muốn biết liệu có ai biết liệu nhà điều hành quay đầu hàng đầu có ý nghĩa được công nhận hay không. Ví dụ: tôi không hiểu toán tử hàng đầu ở đầu mẫu số sau: $\vdash$

\frac{x : T_{1} ⊢ t_{2} : T_{2}}{⊢ λ x : T_{1} . t_{2} : T_{1} \to T_{2}}

$\frac{x:T_1 \vdash t_2:T_2}{\vdash \lambda x:T_1 . t_2 ~:~ T_1 \to T_2}$

Ai đó có thể giúp tôi hiểu không? Cảm ơn.

type-theory denotational-semantics

— Jim Newton
nguồn

Liên quan

— leftaroundabout

Ồ, câu hỏi này có hơn 1 nghìn lượt xem, nhiều hơn tổng số lượt xem của tất cả 29 câu hỏi mới khác! Như tôi đã kiểm tra, không phải thẻ "lý thuyết loại" hay thẻ "biểu thị ngữ nghĩa" nằm trong số 50 thẻ phổ biến đầu tiên. Tôi tò mò về nguyên nhân đằng sau hiện tượng này. Tôi không có manh mối. @DW? Tôi có một câu hỏi meta?

— John L.

Nếu tôi không nhầm, bạn phải di chuyển toán tử quay vòng (

), theo kết luận của quy tắc, giữa

và

. Tôi cũng sẽ thêm thẻ

⊢

$\vdash$

λ x : T_{1}

$\lambda x:T_1$

t_{2}

$t_2$ type-checking

— mchar

3

@ Apass.Jack Nó đã kết thúc trong các câu hỏi về mạng nóng vì vậy đang được chú ý nhiều hơn vì điều đó.

— JAB

20

Ở bên trái của cửa quay, bạn có thể tìm thấy bối cảnh cục bộ, một danh sách hữu hạn các giả định về các loại biến trong tay.

x_{1} : T_{1}, \dots, x_{n} : T_{n} ⊢ e : T

$x_1:T_1, \ldots, x_n:T_n \vdash e:T$

Trên, có thể được không, kết quả là . Điều này có nghĩa là không có giả định về các biến được thực hiện. Thông thường, phương tiện này mà là một thuật ngữ khép kín (không có bất kỳ biến miễn phí) có kiểu . $n$ $\vdash e:T$ $e$ $T$

Thông thường, quy tắc bạn đề cập được viết dưới dạng tổng quát hơn, nơi có thể có nhiều giả thuyết hơn so với quy tắc được đề cập trong câu hỏi.

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ t : T_{2}}{Γ ⊢ (λ x : T_{1} . t) : T_{1} \to T_{2}}

$\dfrac{ \Gamma, x:T_1 \vdash t : T_2 }{ \Gamma\vdash (\lambda x:T_1. t) : T_1\to T_2 }$

Ở đây, đại diện cho bất kỳ bối cảnh, và đại diện cho phần mở rộng của nó thu được bằng cách thêm giả thuyết thêm vào danh sách . Người ta thường đòi hỏi rằng không xuất hiện trong , do đó phần mở rộng không "xung đột" với một giả định trước. $\Gamma$ $\Gamma, x:T_1$ $x:T_1$ $\Gamma$ $x$ $\Gamma$

— chi
nguồn

7

Để bổ sung cho các câu trả lời khác, lưu ý rằng có ba cấp độ "hàm ý" trong việc nhập các dẫn xuất. Và cùng một nhận xét với các dẫn xuất logic vì thực sự có một sự tương ứng giữa hai (được gọi là thư từ của Curry-Howard).

Hàm ý đầu tiên là mũi tên xuất hiện trong công thức, và nó tương ứng với hàm ý logic trong một công thức (hoặc một loại chức năng cho -calculus). $\lambda$

Hàm ý thứ hai được cụ thể hóa bằng biểu tượng quay vòng và có nghĩa là "giả sử mọi công thức ở bên trái, công thức ở bên phải giữ". Đặc biệt, các quy tắc bạn đưa ra nói như thế nào ta nên chứng minh một hàm ý: để chứng minh , sau đó người ta phải chứng minh theo giả định rằng tổ chức. Xét về mặt -calculus, để chứng minh rằng có loại , người ta phải chỉ ra rằng có loại , giả sử là biến của loại (xem sự tương ứng?). $A \Rightarrow B$ $B$ $A$ $\lambda$ $\lambda x.t$ $A \to B$ $t$ $B$ $x$ $A$

Mức hàm ý thứ ba được cụ thể hóa bằng thanh ngang và có nghĩa là "nếu mọi tiền đề (phần tử ở trên cùng) giữ, thì kết luận (phần tử ở dưới cùng) giữ". Bạn có thể liên kết điều đó với việc giải thích quy tắc gõ cho -bộ hoạt động mà bạn đã đưa ra (xem phần giải thích trong đoạn trước). $\lambda$

— Lepolphe Lepigre
nguồn

3

Trong các hệ thống kiểm tra kiểu, ( ) biểu thị mối quan hệ ternary trên các môi trường kiểu, biểu thức và kiểu: . $\vdash$ $\vdash \texttt Env \times \texttt Exp \times \texttt Typ$

Trong ví dụ của bạn, biểu thức được gõ ở kiểu wrt. đến một môi trường kiểu có ánh xạ giả định kiểu đến một số loại biến $t_2$ $T_2$ $T_1$ $x$

Trong bối cảnh này, một môi trường loại là một chức năng một phần mà chuyển nhượng các loại cho các biến, thường thể hiện bằng nơi $\Gamma$ $\Gamma \in \texttt Env : Var \rightharpoonup Typ$

Lưu ý rằng, toán tử bảo lưu chức năng của nó bất kể nó xuất hiện ở đâu, trong tiền đề hoặc kết luận của quy tắc.

— than chì
nguồn

-1

Trong mọi tình huống mà tôi đã thấy, có nghĩa là có bằng chứng về việc cho rằng giữ. Nếu trống, điều đó có nghĩa là là một tautology: nó có bằng chứng mà không cần bất kỳ giả định nào. $X\vdash Y$ $Y$ $X$ $X$ $Y$

— David Richerby
nguồn

1

Nhưng nếu những gì bạn nói là đúng, thì điều này thật lạ bởi vì đó cũng là ý nghĩa của thanh ngang, phải không? Rằng nếu đỉnh là đúng, thì đáy là đúng. Do đó, có hiệu lực,

có nghĩa là nếu

là đúng thì

là vô điều kiện đúng.

\frac{X}{⊢ Y}

$\frac{X}{\vdash Y}$

X

$X$

Y

$Y$

— Jim Newton

1

Thanh ngang có nghĩa là thứ ở phía dưới là một khoản khấu trừ ngay lập tức từ thứ trên cùng. Mặc dù tôi đồng ý rằng trong ví dụ của bạn có vẻ rất kỳ lạ rằng một sự thật vô điều kiện bắt nguồn từ một điều kiện ...

— David Richerby

Lý thuyết loại không logic. Tất nhiên nó liên quan theo nhiều cách và (ở một mức độ nào đó có chủ ý) sử dụng ký hiệu tương tự, nhưng chắc chắn không có mối liên hệ tiên nghiệm nào với mối quan hệ chứng minh và thường không có kết nối posteriori (ít nhất là không phải là logic hợp lý từ xa). Theo văn bản các câu trả lời được, lúc tốt nhất, gây hiểu lầm bởi vì nó cho thấy "

" là một công thức mà nó hầu như không bao giờ là về mặt lý thuyết loại, ví dụ như một ngôn ngữ có chứa công thức như

thường không được mô tả và thường là không thể trong một siêu logic tiêu chuẩn, ví dụ cho phép tính lambda tuyến tính.

x : T_{1}

$x:T_1$

(x : T_{1}) \lor (y : T_{2})

$(x:T_1)\lor(y:T_2)$

— Derek Elkins rời SE

@DerekElkins Đó là một hệ thống bằng chứng và hệ thống bằng chứng là logic.

chính là một đề xuất, và

là gì, nhưng tuyên bố rằng các đề xuất giữ khi

giữ. Thực tế là sự bất đồng của các mệnh đề không phải là công thức chỉ đơn giản là một hạn chế của cú pháp logic.

x : T

$x\colon T$

Γ ⊢ x : T

$\Gamma\vdash x\colon T$

Γ

$\Gamma$

— David Richerby

Đó không chỉ là sự bất đồng. Không ai trong số

,

, hoặc

là công thức một trong hai. Hay bạn đang nói đó là một logic chỉ có các mệnh đề nguyên tử? Tôi đã đề cập logic tuyến tính là một ví dụ. Trong logic tuyến tính ra lệnh, nó có thể rất dễ dàng là trường hợp đó

giữ trong khi

\neg (x : A)

$\neg (x:A)$

(x : A) \land (y : B)

$(x:A)\land(y:B)$

(x : A) \to (y : B)

$(x:A)\to(y:B)$

x : A, y : B ⊢ t : C

$x:A,y:B\vdash t:C$

không. Những kết nối nào làm dấu phẩy và

tương ứng với các "giá trị thật" của

,

và

và tạo ra hành vi trên? Có một tùy chọn nếu siêu logic cũng là logic tuyến tính có trật tự, nhưng sau đó chúng tôi không giải thích bất cứ điều gì.

y : B, x : A ⊢ t : C

$y:B,x:A\vdash t:C$

⊢

$\vdash$

x : A

$x:A$

y : B

$y:B$

t : C

$t:C$

— Derek Elkins rời SE