Một biến thể của hàm hải ly bận rộn

Đọc câu hỏi này " RE tự nhiên không thể giải quyết được vấn đề nhưng không hoàn thành Turing ", ngôn ngữ sau đây xuất hiện trong đầu tôi:

Nếu là chức năng hải ly bận rộn (điểm số tối đa có thể đạt được trong số tất cả các máy Turing trạng thái 2 ký hiệu tạm dừng thuộc loại được mô tả ở trên, khi bắt đầu trên một băng trống), hãy xác định chức năng: $\Sigma(\cdot)$

B B (⟨ M ⟩) = {\begin{cases} 1 & ⟨ M ⟩ computes Σ (\cdot) \\ 0 & otherwise \end{cases}

$BB(\langle M \rangle) = \begin{cases} 1 & \text{$\langle M \rangle$ computes $\Sigma(\cdot)$}\\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}$

Bây giờ xác định ngôn ngữ:

$L = \{ \langle M \rangle \; | \; \langle M \rangle \mbox{ halts and } BB(\langle M \rangle) = 0 \}$

Là đệ quy vô số? (cần phải là lại: chỉ mô phỏng song song M với tất cả các TM có cùng độ dài và nếu dừng lại và một dừng lại với số điểm cao hơn thì thêm M vào bảng liệt kê). $L$ $M$ $M'$

Chúng ta có thể giảm vấn đề tạm dừng xuống không? (có vẻ như nó không thể "bắt giữ" việc tạm dừng các đèn hiệu bận rộn) $L$

computability turing-machines

— Vor
nguồn

Làsố lượng nhà nước?

| ⟨ M ⟩ |

$|\langle M \rangle|$

— Pål GD

Khi nào bạn sẽ liệt kê một không dừng lại ở ? không thể RE trừ khi bạn liệt kê tất cả các thành viên của nó, và các thủ tục bạn đã mô tả chỉ liệt kê những người thực sự dừng lại.

M

$M$

L

$L$

L

$L$

— Steven Stadnicki

@ PålGD: vâng, đó là số lượng trạng thái (trạng thái tạm dừng bị loại trừ)

— Vor

@StevenStadnicki: Tôi giả định rằng chỉ chứa các máy dừng lại ... có lẽ tôi nên làm rõ nó trong câu hỏi (hãy để tôi suy nghĩ một chút, có lẽ nó làm cho câu hỏi trở nên tầm thường).

L

$L$

— Vor

@Kaveh Nó thậm chí còn không phải là một vấn đề lời hứa - bạn chỉ có thể xác định

(như tôi tin rằng OP dự định) như

L

$L$

L = {⟨ M ⟩ | M halts \land B B (⟨ M ⟩) = 0}

$L=\{\langle M\rangle | M\ \text{halts} \wedge BB(\langle M\rangle) = 0\}$

— Steven Stadnicki

Câu trả lời:

Tôi không thể tin rằng tôi đã không nhìn thấy điều này trước đây - nhưng vâng, với một lời tiên tri cho bạn có thể giải quyết vấn đề tạm dừng. Rõ ràng là một lời sấm truyền cho cung cấp cho chúng ta 'đệ quy' tất cả các máy tạm dừng không bận rộn, vì vậy câu hỏi đặt ra là 'chúng ta có thể tìm ra đệ quy trong những đèn hiệu bận rộn không?'. Xác định là hàm đếm của 'hải ly bận rộn thứ hai'; đó là, điểm số cao thứ hai có thể đạt được trong số tất cả các TM -state hai biểu tượng tạm dừng . Bí quyết ở đây là có một hàm đệ quy mà $L$ $L$ $L$ $\Sigma_2(n)$ $n$ $f()$ (đó là gần như chắc chắn rằng sẽ làm các trick, trên thực tế, nhưng điều đó đòi hỏi phải biết rằng BB chức năng đang gia tăng nghiêm ngặt): cho một máy kích thước in rằng 1s trên băng của nó và sau đó tạm dừng, có một số và hai máy mỗi kích thước mà in chính xác 1s và chính xác $\Sigma(n)\leq\Sigma_2(f(n))$ $f(n)=n+1$ $M$ $n$ $\Sigma(M)$ $c\gt 1$ $\leq cn$ $\Sigma(M)$ 1s, tương ứng, trên băng của họ - và điều này cũng đúng đối với một 'bận rộn hải ly' máy mặc dù chúng ta không biết một cách rõ ràng. Điều này có nghĩa là có một ràng buộc trên hàm 'hải ly bận thứ hai' cho tạo ra một ràng buộc cho hàm hải ly bận trên ; nhưng sau đó có này, thật dễ dàng để giải quyết vấn đề ngăn chặn cho một TM kích thước - nếu sau đó nói rằng tạm dừng; mặt khác, tìm máy chạy dài nhất có kích thước trong $\Sigma(M)+1$ $M$ $M$ $f(n)$ $n$ $M$ $n$ $\langle M\rangle\in L$ $M$ $f(n)$ $L$ (có thể được thực hiện đệ quy vì chỉ có nhiều máy có kích thước ) và mô phỏng trong bao nhiêu bước mà máy đó phải dừng lại. Nếu không dừng lại trong thời gian đó thì không thể dừng lại. $\leq f(n)$ $M$ $M$ $M$

— Steven Stadnicki
nguồn

Cảm ơn; lấy cảm hứng từ câu trả lời của bạn Tôi đã tìm thấy một cách nhanh chóng (tầm thường) -: giảm trực tiếp từ vấn đề tạm dừng trong một câu trả lời riêng biệt.

— Vor

Đây là phiên bản được làm lại của câu trả lời hay của Steven, với sự giảm rõ ràng từ vấn đề Ngừng.

Với build chạy trên và nếu nó ngừng đi vào phía bên phải của băng, viết 0 và dừng lại. $\langle M \rangle, w$ $M'$ $M$ $w$

Nếu dừng lại, vì có một TM tương đương có cùng kích thước ghi 1 và dừng lại; vì vậy chúng tôi có thể sử dụng người quyết định cho để kiểm tra xem tạm dừng trên ( tạm dừng trên khi và chỉ khi ) $M'$ $BB(M')=0$ $L$ $M$ $w$ $M$ $w$ $M' \in L$

... hóa ra câu hỏi thực sự tầm thường :-)

— Vor
nguồn