Ngữ pháp miễn phí ngữ cảnh cho {a ^ ib ^ j | i, j ≥ 0; tôi ≠ 2j}

Có ai có thể giúp cho việc này không:

$L=\{a^ib^j \mid i,j \ge 0 \text{ and } i \ne 2j\}$

Tôi đang cố gắng viết một ngữ pháp cho ngôn ngữ này? Tôi không biết làm thế nào để làm điều này. Tôi đã thử điều này:
$S \rightarrow aaAb \mid aA \\ A \rightarrow aA \mid a$

Hãy xem xét hai ngôn ngữ:
$L_1 = \{a^ib^j \mid i, j \ge 0 \text{ and } i > 2j\}$
$L_2 = \{a^ib^j \mid i, j \ge 0 \text{ and } i < 2j\}$

Hãy thuyết phục bản thân rằng $L = L_1 \cup L_2$.

Trong $L_1$, số lượng $a$'s là nhiều hơn gấp đôi$b$Vì vậy, phải có ít nhất một $a$ (khi không có $b$'S). Ngoài ra, cho mỗi lần thêm$b$, ít nhất 2 $a$phải được thêm vào. Bạn có thể tạo$L_1$ như:

$S_1 \rightarrow aA \\ A \rightarrow aaAb \mid aA \mid \varepsilon$

$L_2$là một chút khó khăn hơn. Số lượng$a$ít hơn gấp đôi số lượng $b$Vì vậy, có thể có $0$ $a$nhưng không phải là không $b$'S. Hãy xem xét "trường hợp cơ sở" của$1$ $b$. Chuỗi có thể là một trong hai$b$ hoặc là $ab$. Chúng tôi sẽ để quy tắc đầu tiên tạo ra trường hợp cơ sở này. Sau đó, lưu ý rằng cứ thêm$b$, chúng ta có thể tăng số lượng $a$là bởi nhiều nhất $2$. Vì vậy, chúng tôi có thể thêm$0$, $1$, hoặc là $2$ $a$cho mỗi lần thêm $b$. Chúng ta sẽ để quy tắc thứ hai xử lý việc này. Vì vậy, CFG cho$L_2$ trở thành:

$S_2 \rightarrow Bb \mid aBb \\ B \rightarrow Bb \mid aBb \mid aaBb \mid \varepsilon$

Lưu ý rằng CFG bị đóng dưới liên minh, nghĩa là liên minh của hai CFG cũng là CFG. Vì vậy, để có được CFG cho$L$, hãy để trạng thái bắt đầu $S$ của $L$ dẫn đến trạng thái bắt đầu của $L_1$, hoặc của $L_2$:

$S \rightarrow S_1 \mid S_2$

Phần còn lại của các quy tắc vẫn giống như trong hai ngôn ngữ. Có thể có một ngữ pháp đơn giản hơn, nhưng đây là lần đầu tiên xuất hiện trong tâm trí.

Bắt đầu với một ngữ pháp cho $\{a^i b^{2 i} : i \ge 0\}$:

$$S \rightarrow a S bb \mid \epsilon$$ Bây giờ hãy hack nó để có nhiều hơn $a$ hơn $bb$: $$\begin{align*} S &\rightarrow a S bb \mid A \\ A &\rightarrow a A \mid a \end{align*}$$ Các sửa đổi để buộc nhiều hơn $b$là tương tự, và để lại cho bạn. Nó thêm một nonterminal và ba sản phẩm.