Có các thuật toán thời gian phụ cho các vấn đề hoàn thành NP không?

51

Có các vấn đề NP-đầy đủ đã được chứng minh thuật toán thời gian phụ?

Tôi đang yêu cầu các trường hợp đầu vào chung, tôi không nói về các trường hợp đặc biệt có thể kéo được ở đây.

Theo cấp số nhân, tôi có nghĩa là một thứ tự tăng trưởng trên đa thức, nhưng ít hơn số mũ, ví dụ . $n^{\log n}$

— ksb
nguồn

10

Bạn có ý nghĩa gì bởi "cấp số nhân"? Nếu bạn có nghĩa là

, câu trả lời chắc chắn là có. Nếu bạn có nghĩa là

, tôi tin rằng câu trả lời là không.

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— JeffE

57

Phụ thuộc vào những gì bạn có nghĩa là phụ. Dưới đây tôi giải thích một vài ý nghĩa của "subexponential" và những gì xảy ra trong mỗi trường hợp. Mỗi lớp được chứa trong các lớp bên dưới nó.

I. $2^{n^{o(1)}}$

Nếu theo ý nghĩa phụ, bạn có nghĩa là , thì một phỏng đoán trong lý thuyết phức tạp gọi là ETH (Giả thuyết thời gian theo hàm mũ) ngụ ý rằng không có vấn đề -hard nào có thể có thuật toán với thời gian chạy . $2^{n^{o(1)}}$ $\mathsf{NP}$ $2^{n^{o(1)}}$

Lưu ý rằng lớp này được đóng dưới thành phần với đa thức. Nếu chúng tôi có thuật toán thời gian phụ cho bất kỳ vấn đề -hard nào, chúng tôi có thể kết hợp nó với việc giảm thời gian đa thức từ SAT để có được thuật toán phụ cho 3SAT sẽ vi phạm ETH. $\mathsf{NP}$

II. , tức là cho tất cả các $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

Tình hình tương tự như trước đây.

Nó được đóng dưới đa thức để không có vấn đề -hard nào có thể được giải quyết trong thời gian này mà không vi phạm ETH. $\mathsf{NP}$

III. , tức là cho một số $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

Nếu bởi subexponential bạn bình đối với một số thì câu trả lời là có, có thể chứng minh vấn đề như vậy. $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$

Thực hiện một bài toán -complete như SAT. Nó có một thuật toán brute-force chạy trong thời gian . Bây giờ hãy xem xét phiên bản đệm của SAT bằng cách thêm một chuỗi có kích thước vào các đầu vào: $\mathsf{NP}$ $2^{O(n)}$ $n^k$

S A T^{'} = {⟨ φ, w ⟩ ∣ φ \in S A T and | w | = | φ |^{k}}

$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$

$\mathsf{NP}$ $2^{O(n^\frac{1}{k})}$

$2^{o(n)}$

Điều này có chứa các lớp trước, câu trả lời là tương tự.

$\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

Điều này có chứa các lớp trước, câu trả lời là tương tự.

$\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

Điều này có chứa các lớp trước, câu trả lời là tương tự.

Subexponential có nghĩa là gì?

"Đa thức trên" không phải là giới hạn trên mà là giới hạn dưới và được gọi là siêu đa thức .

$n^{\lg n}$

$2^{\Theta(n)}$ $2^{n^{\Theta(1)}}$

$\Theta$ $o$ $\epsilon$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon>0$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon<1$

Cái nào nên được gọi là subexponential là có thể tranh cãi. Thông thường mọi người sử dụng cái họ cần trong công việc của họ và gọi nó là phụ.

$\mathsf{Exp}$ $2^{n^{O(1)}}$

$\mathsf{SubExp}$

III được sử dụng cho giới hạn trên thuật toán, giống như các giới hạn được đề cập trong câu trả lời của Pal.

IV cũng phổ biến.

V được sử dụng để nêu phỏng đoán ETH.

$\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{PSpace}$ $\mathsf{Exp}$

Mùa hè

$\mathsf{NP}$

— Kaveh
nguồn

7

Câu trả lời này nên vào Wikipedia.

— Erel Segal-Halevi

32

$2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$ $2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$

Phản hồi Arc Set về các giải đấu [Noga Alon, Daniel Lokshtanov, Saket Saurabh, ALP 2009]
Hoàn thành điền và chuỗi tối thiểu [Fomin và Villanger SODA 2012]
Xóa cạnh tách [Ghosh et al SWAT 2012]
$t$
Rất nhiều vấn đề về giá trị, các vấn đề về đồ thị khác nhau trên đồ thị chi bị giới hạn và đặc biệt là đồ thị phẳng (xem Demaine, Fomin, Hajiaghayi, Thilikos: Các thuật toán tham số hóa phụ trên đồ thị của đồ thị có giới hạn và đồ thị không có H )
Thuật toán tham số hóa thời gian phụ cho cây Steiner trên đồ thị phẳng [Pilipczuk et al STACS 2013]
Hoàn thành hoàn hảo tầm thường, Hoàn thành ngưỡng và Hoàn thành giả ngẫu nhiên [D. et al STACS 2014]
Hoàn thành khoảng thời gian [Bliznets et al]
Hoàn thành khoảng thời gian thích hợp [Bliznets et al]

— Pål GD
nguồn

1

2^{O (n^{ϵ})}

$2^{O(n^\epsilon)}$

ϵ < 1

$\epsilon<1$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

Có các thuật toán thời gian phụ cho các vấn đề hoàn thành NP không?

I. 2no(1)2no(1)2^{n^{o(1)}}

II. , tức là 2 O ( n ε ) cho tất cả các 0 < ε⋂0<ϵ2O(nϵ)⋂0<ϵ2O(nϵ)\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} 0<ϵ0<ϵ0 < \epsilon

III. , tức là 2 O ( n ε ) cho một số ε < 1⋃ϵ<12O(nϵ)⋃ϵ<12O(nϵ)\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)} ϵ<1ϵ<1\epsilon < 1

2o(n)2o(n)2^{o(n)}

⋂0<ϵ2ϵn⋂0<ϵ2ϵn\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ>0ϵ>0\epsilon>0

⋃ϵ<12ϵn⋃ϵ<12ϵn\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}2ϵn2ϵn2^{\epsilon n} ϵ<1ϵ<1\epsilon<1

Subexponential có nghĩa là gì?

I. $2^{n^{o(1)}}$

II. , tức là cho tất cả các $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

III. , tức là cho một số $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

$2^{o(n)}$

$\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

$\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$