Lý thuyết Danh mục có nghĩa là gì chưa biết cách xử lý các hàm bậc cao hơn?

Khi đọc Uday Reddy của câu trả lời cho mối quan hệ giữa functors trong SML và lý thuyết Loại là gì? Tiểu bang

Lý thuyết danh mục chưa biết cách xử lý các hàm bậc cao hơn. Một ngày nào đó, nó sẽ.

Như tôi nghĩ lý thuyết Danh mục có thể đóng vai trò là nền tảng cho toán học, thì có thể lấy được tất cả các hàm toán học và bậc cao hơn.

Vì vậy, lý thuyết Danh mục có nghĩa là gì chưa biết cách xử lý các hàm bậc cao hơn? Có hợp lệ để coi lý thuyết Danh mục là nền tảng cho toán học?

Vấn đề với các hàm bậc cao hơn là đủ đơn giản để nêu.

• Một hàm tạo kiểu như không phải là hàm functor. Đáng lẽ ra phải thế. $T(X) = [X \to X]$

• ${\it twice}_X : T(X) \to T(X) = \lambda f.\, f \circ f$

Nếu bạn đọc tài liệu lý thuyết thể loại ban đầu của Eilenberg và MacLane , (PDF) , trực giác mà họ trình bày bao gồm những trường hợp đó. Nhưng lý thuyết của họ thì không. Của họ là một bài báo tuyệt vời cho năm 1945! Nhưng, hôm nay, chúng ta cần nhiều hơn.

Phản ứng của các nhà lý thuyết thể loại đối với những vấn đề này là một chút bối rối. Chúng hoạt động như thể các hoạt động bậc cao tạo thành một ý tưởng Khoa học Máy tính; chúng không có kết quả đối với toán học. Nếu đó là như vậy, thì một nền tảng của toán học sẽ không đủ tốt cho một nền tảng của khoa học máy tính.

Nhưng tôi không nghiêm túc tin vào điều đó. Tôi tin rằng các hàm bậc cao cũng sẽ khá quan trọng đối với toán học. Nhưng họ đã không được khám phá nghiêm túc. Tôi hy vọng rằng, một ngày nào đó, chúng sẽ được khám phá và những hạn chế của lý thuyết thể loại sẽ được hiện thực hóa.

[Câu trả lời thứ hai này trình bày một phác thảo về "Lý thuyết loại 2.0", liên quan đến các chức năng bậc cao đúng cách, có thể trông như thế nào.]

Từ lâu chúng ta đã biết cách xử lý các hàm bậc cao hơn trong lý luận về chúng.

• Khi cấu trúc đại số có các phép toán bậc cao hơn, phép đồng hình không hoạt động. Chúng ta phải sử dụng quan hệ logic thay thế. Nói cách khác, chúng ta phải chuyển từ " chức năng bảo tồn cấu trúc" sang " cấu trúc bảo tồn quan hệ ".

• Để nói về các phép biến đổi "đồng nhất" hoặc "được đưa ra đồng thời" trên các loại bậc cao hơn, tính tự nhiên không hoạt động. Chúng ta phải sử dụng tham số quan hệ thay thế. Nói cách khác, chúng ta phải chuyển từ "gia đình bảo tồn mọi hình thái " sang "gia đình giữ gìn mọi quan hệ logic ".

• $\to$

Giới thiệu nhanh về các vấn đề này nằm trong phần của Peter O'Hearn về "Tham số quan hệ" trong Miền và ngữ nghĩa học nghĩa: Lịch sử, Thành tựu và Vấn đề mở (CiteSeerX) .

• Nỗ lực đầu tiên trong việc xây dựng "Lý thuyết Danh mục 2.0" là trong Tham số và Biến địa phương của O'Hearn và Tennent (CiteSeerX) .

• Luận án Tiến sĩ của Brian Dunphy: Tham số như một khái niệm về tính đồng nhất trong các đồ thị phản xạ (CiteSeerX) xây dựng trên khung của họ và tiên đề hóa cấu trúc quan hệ cần thiết để có được kết quả tham số. Tôi muốn giới thiệu luận án của Dunphy để có cái nhìn tổng quan về tất cả các vấn đề.

• Để hoàn thiện, tôi cũng nên đề cập đến luận án tiến sĩ của Claudio Hermida: Fibrations, Logicalates and Indetermoped (PDF) , đây là lần đầu tiên nghiên cứu quan hệ logic trong môi trường lý thuyết thể loại, nhưng cách đối xử của ông có lẽ quá kỹ thuật đối với hầu hết mọi người.

Tôi cũng có thể thêm rằng lý do về trạng thái là nơi các hàm bậc cao hơn xuất hiện nổi bật. Các nhà lý thuyết tự động là những người đầu tiên nhận ra rằng đồng cấu không hoạt động chính xác, trong một bài viết lịch sử có tên là Sản phẩm của Automata và Vấn đề bao trùm . Họ đã sử dụng các thuật ngữ như "đồng cấu yếu" và "bao trùm quan hệ" để chỉ các mối quan hệ logic. Trong khóa học do, các thuật ngữ như "mô phỏng" và "bisimulation" đã được sử dụng để chỉ chúng. Bài viết khảo sát của Davide Sangiorgi: Về nguồn gốc của sự giả lập và cưỡng chế bao gồm tất cả lịch sử ban đầu này và hơn thế nữa.

Sự cần thiết phải suy luận quan hệ lặp đi lặp lại trong lý luận về nhà nước, đặc biệt là lập trình mệnh lệnh . Rất ít người nhận thấy rằng "dấu chấm phẩy" khiêm tốn là một hoạt động có thứ tự cao hơn. Vì vậy, bạn không thể suy nghĩ về các chương trình bắt buộc mà không biết cách xử lý các hàm bậc cao hơn. Chúng tôi tiếp tục bỏ qua các vấn đề về lập trình nhà nước và mệnh lệnh trong niềm tin sai lầm rằng toán học có tất cả các câu trả lời. Vì vậy, nếu các nhà toán học không hiểu trạng thái, nó sẽ không tốt! Không gì có thể hơn được sự thật. Nhà nước là trung tâm của Khoa học Máy tính. Chúng tôi sẽ thúc đẩy khoa học nói chung bằng cách chỉ cho mọi người cách đối phó với nhà nước!