Là

Nếu là thường xuyên, nó có theo là thường xuyên không?$A^2$$A$

Nỗ lực của tôi về một bằng chứng:

Có, vì mâu thuẫn cho rằng $A$ không thường xuyên. Rồi $A^2 = A \cdot A$ .

Vì việc ghép hai ngôn ngữ không thường xuyên không thường xuyên nên $A^2$ không thể đều đặn. Điều này mâu thuẫn với giả định của chúng tôi. Vậy $A$ là thường xuyên. Vậy nếu $A^2$ là thường xuyên thì $A$ là thường xuyên.

Bằng chứng có đúng không?

Chúng ta có thể khái quát điều này thành $A^3$ , $A^4$ , v.v ... không? Và cũng nếu $A^*$ là thường xuyên sau đó $A$ không cần phải thường xuyên?

Ví dụ: $A=\lbrace 1^{2^i} \mid i \geq 0\rbrace$ là không thường xuyên nhưng $A^*$ là thông thường.

Hãy xem xét định lý bốn hình vuông của Lagrange . Nó nói rằng nếu B = { 1 n 2 | n ≥ 0 } thì B 4 = { 1 n | n ≥ 0 } . Nếu B 2 đều đặn, lấy A = B khác lấy A = B 2 . Dù bằng cách nào, điều này chứng tỏ sự tồn tại của A không đều mà A 2 là thường xuyên.$B = \{1^{n^2}| n \geq 0\}$$B^4 = \{1^n | n \geq 0\}$$B^2$$A = B$$A = B^2$$A$$A^2$

Dưới đây là một ví dụ về một ngôn ngữ không phải tính toán Một ví dụ mà Một 2 = Σ * . Đi bất kỳ không tính toán K (biểu diễn dưới dạng một tập hợp các số, ví dụ như các mã máy Turing mà dừng lại), và xác định A = { w ∈ Σ * : | w | ≠ 4 k  cho tất cả  k ∈ K } . Vì vậy, một chứa tất cả các từ khác hơn so với những chiều dài 4 k đối với một số k ∈ K . Nếu $A$$A^2 = \Sigma^*$$K$

Khẳng định: Một 2 = Σ * . Đặt w là bất kỳ từ có độ dài n . Nếu n không phải là một sức mạnh của 4 , sau đó w ∈ A và chữ rỗng là trong một , vì vậy w ∈ A 2 . Nếu n là lũy thừa 4 thì n / 2 không phải là lũy thừa 4 . Viết w = x y , trong đó | x | = | y | = n $A^2 = \Sigma^*$$w$$n$$n$$4$$w \in A$$A$$w \in A^2$$n$$4$$n/2$$4$$w = xy$2 . Cả hai x , y ∈ A để w = x y ∈ A 2 .$|x| = |y| = n/2$$x,y \in A$$w = xy \in A^2$

Bằng chứng của bạn vẫn tạo ra một bước nhảy lớn (lập luận rằng việc ghép các ngôn ngữ không thông thường là không thường xuyên).

Nếu phỏng đoán Goldbach là đúng, thì câu trả lời cho câu hỏi là không: Hãy xem ngôn ngữ không chính quy A = { 1 p : p  là số nguyên tố } . Sau đó, theo phỏng đoán Goldbach, A 2 = { 1 2 k : k > 1 } , là thường xuyên.$A=\{1^p: p\text{ is a prime}\}$$A^2=\{1^{2k}: k>1\}$

Điều này không giải quyết hoàn toàn câu hỏi, nhưng nó đưa ra bằng chứng mạnh mẽ rằng câu trả lời là không (nếu không thì phỏng đoán Goldbach là sai). Tuy nhiên, câu trả lời có thể rất khó để chứng minh, nếu đây là ví dụ duy nhất được biết đến.

Yêu cầu là sai.

Đặt D là ngôn ngữ không thông thường là "thưa thớt": nếu x ∈ D thì bất kỳ y ∈ D nào khác đều thỏa mãn | y | > 4 | x | (hoặc | x | > 4 | y | ) ^† . Không quá khó để thấy rằng nhiều ngôn ngữ không thông thường có thể thưa thớt.$D$$x \in D$$y\in D$$|y| > 4|x|$$|x|>4|y|$^$\dagger$

Bây giờ xác định A = Σ * ∖ D . Từ tính chất đóng (bổ sung), A phải không thường xuyên.$A = \Sigma^* \setminus D$$A$

Tuy nhiên, $A^2 = \Sigma^*$ $\ \ \ $(bạn có thể thấy tại sao?)

^$\dagger$ _{Tôi nghĩ | y | > 2 | x | là đủ, nhưng có thể gây ra một số trường hợp cạnh khó chịu. | y | > 2 | x | + 2 là đủ, mặc dù vậy, hãy dùng | y | > 4 | x | để được an toàn$|y|>2|x|$$|y|>2|x|+2$$|y|>4|x|$}

Take any nonregular $X \subseteq {1}^\ast$ and define $A=\{1\} \cup \{1^{2x}:x \in \mathbb N\} \cup \{1^{2x+1}:1^x \in X\}$.

It is easy to see $A$ is nonregular, while $A^2=1^{\ast}$.

Let $U\subseteq \mathbb{N}$ be any undecidable set, let $I = \{2u+1\mid u\in U\}\cup\{0,2,4,\dots\}$ and let $L = \{a^i\mid i\in I\}$. $L$ is undecidable so it certainly isn't regular. But $L^2 = \{a^{2n}\mid n\in \mathbb{N}\} \cup \{a^n\mid n\geq \min\,I\}$, which is regular because its complement is finite.

Another example, from a question that was marked as a duplicate of this, is to consider the non-regular language $\{a^k\mid m\text{ is composite}\}$. Any even number $n\geq 8$ is the sum of $n-4$ and $4$, which are both composite; any odd number $n\geq 13$ is the sum of $n-9$ and $9$, which are both composite ($n-9=2m$ for some $m\geq 2$). Therefore, $A^2 = \{a^8,a^{10}\}\cup\{a^k\mid k\geq 12\}$, which is regular because it's co-finite (it's the complement of $\{\epsilon,a,aa,\dots,a^6,a^7,a^9,a^{11}\}$).