Hiển thị rằng việc xóa đỉnh tối thiểu đối với biểu đồ lưỡng cực là hoàn thành NP

Hãy xem xét vấn đề sau có thể hiện đầu vào là đồ thị đơn giản và số nguyên tự nhiên . $G$ $k$

Có tập hợp sao cho là lưỡng cực và ? $S \subseteq V(G)$ $G - S$ $|S| \leq k$

Tôi muốn chỉ ra rằng vấn đề này là -complete bằng cách giảm 3-SAT, -CLIQUE, -DOMINATING SET hoặc -VERTEX COVER cho nó. $\rm{NP}$ $k$ $k$ $k$

Tôi tin rằng tôi có thể giảm vấn đề 3 MÀU cho nó vì vậy tôi chỉ cần xem làm thế nào để giảm một trong những vấn đề được đề cập đến nó. Nhưng vì điều đó sẽ khá lộn xộn, tôi tự hỏi liệu có ai đó thấy sự giảm bớt thanh lịch đối với các vấn đề đã nói ở trên không.

Ngoài ra, có một tên cho vấn đề quyết định này?

complexity-theory np-complete reductions

— Jernej
nguồn

Chu kỳ kỳ lạ ngang .

— Pål GD

Điều này có vẻ tương tự như bộ đỉnh phản hồi . Đó là, bạn muốn tìm tập hợp con tối thiểu của các đỉnh để loại bỏ sao cho đồ thị kết quả là theo chu kỳ. Một đồ thị theo chu kỳ là theo định nghĩa một cây (hoặc rừng) là lưỡng cực.

— Nicholas Mancuso

@NicholasMancuso Nó không quá giống nhau. Nó thực sự như tôi đã nói ở trên, vấn đề Chuyển đổi chu kỳ kỳ lạ. Hoặc như Vor chỉ ra, được Yannakakis gọi là nút Bipartite (hoặc đỉnh) trong thập niên 70 và 80.

— Pål GD

@ PålGD, tôi đồng ý. Tôi cảm thấy rằng mức giảm dễ nhất sẽ là từ FVS. Tuy nhiên, điều đó được thực hiện không cần thiết theo định nghĩa của nó là Odd Chu kỳ ngang.

— Nicholas Mancuso

@Jernej: bạn nói "... Tôi muốn chỉ ra rằng vấn đề này nằm ở NP bằng cách giảm nó xuống 3-SAT, k-CLIQUE, ...". Ý bạn là "Tôi muốn chỉ ra rằng vấn đề này là NP-hard khi sử dụng mức giảm từ 3-SAT, k-CLIQUE, ..."? (vấn đề rõ ràng ở NP vì việc kiểm tra nếu một đồ thị là lưỡng cực có thể được thực hiện trong thời gian tuyến tính)

— Vor

Vấn đề của bạn là một trường hợp đặc biệt của một lớp vấn đề rộng hơn có tên là các vấn đề xóa nút :

JM Lewis và M. Yannakakis, "Vấn đề xóa nút đối với các thuộc tính di truyền là NP-Complete"

... này đề cập giấy với lớp của các vấn đề đồ thị được xác định như sau:
cho một đồ thị tài sản cố định , tìm số lượng tối thiểu của các nút (hoặc đỉnh) mà phải được xóa từ một đồ thị cho sao cho thỏa mãn kết quả . Chúng tôi gọi đây là vấn đề xóa nút cho . Kết quả của chúng tôi cho thấy rằng nếu là một thuộc tính không cần thiết là di truyền trên sơ đồ con cảm ứng, thì vấn đề xóa nút đối với là NP-hard. Hơn nữa, nếu chúng ta thêm điều kiện thử nghiệm cho có thể được thực hiện trong thời gian đa thức, sau đó kết quả của chúng tôi ngụ ý rằng vấn đề nút-xóa cho $\Pi$ $G$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ là NP-đầy đủ. ... $\Pi$

Vấn đề của bạn là vấn đề xóa nút vì tính lưỡng cực , nhưng (như được lưu ý bởi Pal), ngày nay nó được gọi là vấn đề xoay vòng theo chu kỳ (OCT).

BIÊN TẬP

Đối với những gì liên quan đến giảm trực tiếp, tôi nghĩ về điều này từ 3SAT.

Cho một thể hiện của 3SAT với biến và mệnh đề, xây dựng biểu đồ sau: thêm hai nút cho mỗi biến và một cạnh giữa chúng. Để mô phỏng một phép gán chân lý, thêm nút cho mỗi biến và kết nối cả hai với và ; theo cách này, để tạo một biểu đồ lưỡng cực xóa tại hầu hết nút, ít nhất một nút giữa và phải bị xóa. Cuối cùng cho mỗi mệnh đề $n$ $m$ $x_i, \overline{x_i}$ $n+1$ $x_i$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $n$ $x_i$ $\overline{x_i}$ thêm 4 nút và xây dựng một chu kỳ lẻ kết nối các biến trong . $C_j$ $C_j$

Đồ thị kết quả có thể được thực hiện xóa bipartite tại hầu hết nút nếu và chỉ khi công thức 3SAT ban đầu là thỏa đáng. $G$ $n$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— Vor
nguồn

Đây thực sự không phải là câu trả lời cho câu hỏi. OP muốn giảm rõ ràng bằng cách sử dụng vấn đề nhất định. Hơn nữa, vấn đề ngày nay được gọi là Odd Chu kỳ ngang.

— Pål GD

@ PålGD: bạn nói đúng.

— Vor

Vâng, nhưng tôi không thể thấy ngay sự giảm bớt từ danh sách các vấn đề của OP, mặc dù ... tôi chỉ biết về vấn đề mà bạn đề cập, bởi Yannakakis.

— Pål GD

@ PålGD: Tôi sẽ nghĩ về một mức giảm khác nhau, nhưng thành thật mà nói tôi không chắc chắn chính xác những gì OP muốn (xem bình luận của tôi ở trên).

— Vor

@Vor Điều tôi muốn là thấy một sự giảm bớt đơn giản từ một trong những vấn đề được đề cập. Bài viết này được biết đến với tôi nhưng tôi đang tìm kiếm sự giảm trực tiếp nhất.

— Jernej