Tính toán ma trận nghịch đảo khi một phần tử thay đổi

Cho ma trận . Đặt ma trận nghịch đảo của là (nghĩa là ). Giả sử rằng một phần tử trong bị thay đổi (giả sử thành ). Mục tiêu là tìm sau khi thay đổi này. Có một phương pháp để tìm mục tiêu này hiệu quả hơn là tính lại ma trận nghịch đảo từ đầu.A A A - 1 A A - 1 = I A a i j a ′ i j A - $n \times n$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$$\mathbf{A}$$a _{ij}$$a' _{ij}$$\mathbf{A}^{-1}$

Công thức Sherman-Morrison có thể giúp:

Đặt và , trong đó là vectơ cột cơ sở tiêu chuẩn. Bạn có thể kiểm tra xem ma trận đã cập nhật có phải là thì v = e j e i A ′ A ′ - 1 = A - 1 - ( a ′ i j - a i j ) A - 1 i → A - 1 T ↓ $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$$v = e_j$$e_i$$A'$

$A$$A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$$a_{ij}$$e_i$$i$

$e_i \delta e_j^\top$$\delta$$ij$$A^{-1}$$A^{-1}$

$A^{-1}$