Sự kết hợp của việc mở rộng beta

Hãy $\to_\beta$ be $\beta$ -reduction trong $\lambda$ -calculus. Xác định $\beta$ -expansion $\leftarrow_\beta$ bởi $t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$ .

Là $\leftarrow_\beta$ confluent? Nói cách khác, chúng ta có mà cho bất kỳ $l,d,r$ , nếu $l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$ , sau đó có tồn tại $u$ như vậy $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ?

Từ khóa: Hợp lưu hướng lên, đảo lộn tài sản CR

Tôi bắt đầu bằng cách nhìn vào bất động sản yếu: ngã ba địa phương (tức là nếu $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ , sau đó $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ). Thậm chí nếu điều này là đúng, nó sẽ không bao hàm sự hợp lưu từ $\beta$ -expansion là không kết thúc, nhưng tôi nghĩ rằng nó sẽ giúp tôi hiểu được những chướng ngại vật.

(Top) Trong trường hợp cả hai giảm đang ở cấp cao nhất, các giả thuyết trở nên $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ . Lên đến $\alpha$ -renaming, chúng ta có thể giả sử rằng $x_1\not =x_2$và cả $x_1$ và $x_2$ đều không miễn phí trong các điều khoản đó.

(Ném) Nếu $x_1$ là không được tự do trong $b_1$ , chúng tôi có $b_1=b_2[a_2/x_2]$ và do đó có $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .

Một bằng chứng ngây thơ bằng cảm ứng (trên $b_1$ và $b_2$ ) cho trường hợp (Trên cùng) sẽ như sau:

• Nếu $b_1$ là biến $y_1$ ,

  • Nếu $y_1=x_1$ , giả thuyết trở nên $(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ , và chúng tôi thực sự có $(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ .

  • Nếu $y_1\not=x_1$ , thì chúng ta chỉ cần sử dụng (Ném).

• Bằng chứng tương tự được áp dụng là $b_2$ là một biến.

• Với $b_1=\lambda y.c_1$ và $b_2=\lambda y.c_2$ , giả thuyết trở nên $(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ và giả thuyết quy nạp cho$d$ như vậy$(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$ mà ngụ ý rằng$\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$ . Thật không may, chúng tôi không có$\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ . (Điều này làm cho tôi nghĩ về$\sigma$ -reduction.)

• Một vấn đề tương tự phát sinh cho các ứng dụng: các $\lambda$ s không phải là nơi họ nên được.

Hai mẫu là:

• $(\lambda x. b x (b c)) c$ và$(\lambda x. x x) (b c)$ (Plotkin).
• $(\lambda x. a (b x)) (c d)$ và$a ((\lambda y. b (c y)) d)$ (Van Oostrom).

Ví dụ chi tiết dưới đây được đưa ra trong The Lambda Tính: Cú pháp và ngữ nghĩa của HP Barenredgt, phiên bản sửa đổi (1984), bài tập 3.5.11 (vii). Nó được quy cho Plotkin (không có tài liệu tham khảo chính xác). Tôi đưa ra một bằng chứng không đầy đủ được điều chỉnh từ một bằng chứng của Vincent van Oostrom của một ví dụ khác, trong Take Five: a Easy Expansion Practice (1996) [PDF] .

Cơ sở của bằng chứng là định lý tiêu chuẩn hóa, cho phép chúng ta chỉ xem xét mở rộng beta của một hình thức nhất định. Nói một cách trực giác, giảm tiêu chuẩn là giảm làm cho tất cả các cơn co thắt của nó từ trái sang phải. Chính xác hơn, việc giảm là không chuẩn iff có một bước $M_i$ mà redex là phần dư của một redex ở bên trái của redex của bước trước $M_j$ ; “Left” và “quyền” cho một REDEX được xác định bởi vị trí của $\lambda$ được loại trừ khi lập REDEX được ký hợp đồng. Các trạng thái lý tiêu chuẩn hóa mà ở đó nếu $M \rightarrow_\beta^* N$ sau đó là giảm tiêu chuẩn từ $M$ đến$N$ .

Đặt $L = (\lambda x. b x (b c)) c$ và $R = (\lambda x. x x) (b c)$ . Cả hai thuật ngữ beta-giảm đến $b c (b c)$ trong một bước.

Giả sử rằng có một tổ tiên chung $A$ ví dụ mà $L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$ . Nhờ định lý tiêu chuẩn hóa, chúng ta có thể giả sử rằng cả hai mức giảm là tiêu chuẩn. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng $A$ là bước đầu tiên mà các mức giảm này khác nhau. Hai giảm này, chúng ta hãy $\sigma$ là một nơi REDEX của bước đầu tiên là ở phía bên trái của người kia, và ghi $A = C_1[(\lambda z. M) N]$ nơi $C_1$là bối cảnh của sự co lại này và $(\lambda z. M) N$ là redex. Hãy $\tau$ là giảm khác.

Kể từ $\tau$ là tiêu chuẩn và bước đầu tiên của nó là ở bên phải của lỗ trong $C_1$ , nó có thể không hợp đồng tại $C_1$ hay bên trái của nó. Do đó, hạn cuối cùng của $\tau$ có dạng $C_2[(\lambda z. M') N']$ nơi các bộ phận của $C_1$ và $C_2$ bên trái của lỗ của họ là giống hệt nhau, $M \rightarrow_\beta^* M'$ và $N \rightarrow_\beta^* N'$. Vì $\sigma$ bắt đầu bằng cách giảm ở $C_1$ và không bao giờ giảm thêm bên trái, nên thuật ngữ cuối cùng của nó phải có dạng $C_3[S]$ trong đó phần $C_3$ ở bên trái lỗ của nó giống hệt với phần bên trái của $C_1$ và $C_2$ , và $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$ .

$L$$R$$\tau$$\lambda z. M$$L$$R$$\tau$$N$$C_1 = C_2 = C_3 = []$

• $\tau$$R$$M \rightarrow_\beta^* z z$$N \rightarrow_\beta^* b c$$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$$N$$L$$b c$$N$$N$$\sigma$$\check{N} P$$\check{N}$$N$$L$$b c$$b c$$N$$L$$b c$

• $\tau$$L$$M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$$N \rightarrow_\beta^* c$$M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$$N$$R$$c$

$N$$M$

$\beta$$x$$v$$(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$$(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$$t_1$$t_2$$\beta$$t_1$$t_2$$u$$u \to_\beta^\ast t_1$$u \to_\beta^\ast t_2$