Có yêu cầu tính duy nhất của câu trả lời hợp lệ cho Merlin giới hạn sức mạnh của các giao thức Arthur-Merlin không?

Lời mở đầu.

Lớp phức tạp AM là những vấn đề có thể được giải quyết bằng hệ thống chứng minh tương tác hai vòng giữa một người hoạt ngôn "Merlin" và người xác minh "Arthur". Một vấn đề - kiểm tra một số thuộc tính của đối tượng X - là trong AM nếu:

• Đối với các trường hợp CÓ , đối với một thông báo "thử thách" ngẫu nhiên (có độ dài đa thức) mà Arthur tạo ra, với xác suất cao Merlin có thể tạo ra một câu trả lời (độ dài đa thức) mà Arthur có thể sử dụng làm bằng chứng cho thấy X có thuộc tính;

• Đối với NO trường hợp, đối với một thông điệp thách thức ngẫu nhiên Arthur tạo, với xác suất cao Merlin không thể xây dựng bất kỳ câu trả lời có thể được sử dụng như bằng chứng cho bất động sản đang được thử nghiệm cho vào X .

- Lớp được mô tả không thay đổi nếu chúng tôi yêu cầu Merlin đưa ra câu trả lời hữu ích không chỉ với xác suất cao, mà còn cho bất kỳ thách thức nào mà Arthur có thể đưa ra; trong trường hợp này, chúng tôi có thể nói rằng chúng tôi luôn yêu cầu câu trả lời của Merlin phải hợp lệ cho các trường hợp CÓ và những gì Arthur kiểm tra là tính hợp lệ của câu trả lời. Vì vậy, nếu Merlin từng tạo ra phản hồi không hợp lệ, Arthur biết rằng trường hợp vấn đề là trường hợp KHÔNG . Đây là cài đặt tôi muốn xem xét.

Một ví dụ là Đồ thị không đẳng hình: đồ thị G và H có cùng bộ nhãn đỉnh, Arthur có thể chọn ngẫu nhiên một trong các đồ thị và tạo ra một phiên bản F "xáo trộn" bằng cách cho phép nhãn đỉnh của nó, gửi bản trình bày về nó cho Merlin . Nếu hai biểu đồ không phải là đẳng cấu, Merlin có thể xác định G hoặc H Arthur đã chọn bằng cách xác định xem F  ≅  G hay F  ≅  H , và có thể trả lời bằng cách xác định hai trong số F là đẳng cấu. Tuy nhiên, nếu hai biểu đồ G và H là đẳng cấu, Merlin không thể phân biệt biểu đồ nàoF đến từ, và bất kỳ câu trả lời nào anh ta đưa ra chỉ có thể chính xác một cách tình cờ. Do đó, đối với các trường hợp CÓ, Merlin luôn có thể gửi phản hồi hợp lệ cho mọi thách thức; trong trường hợp KHÔNG có bất kỳ phản hồi nào mà Merlin có thể gửi sẽ có xác suất cao không hợp lệ.

Trong vấn đề trên, không chỉ tồn tại một phản hồi hợp lệ mà Merlin có thể đưa ra cho Arthur cho mỗi thử thách, mà trên thực tế còn có một phản hồi hợp lệ duy nhất : tức là  chỉ ra G hoặc H Arthur đã chọn, cho rằng điều này có thể được xác định bởi xác định đó là đẳng cấu với F .

Câu hỏi.

Liệu việc áp đặt một ràng buộc dọc theo các dòng này - rằng đối với các trường hợp CÓ , đối với bất kỳ thử thách nào Arthur có thể gửi, có chính xác một phản hồi hợp lệ cho Merlin - mang lại một lớp hạn chế hơn, theo nghĩa là mang lại một lớp không được biết là bằng AM ?

Bài báo của Koiran Hilbert's Nullstellensatz nằm trong Hệ thống phân cấp đa thức cung cấp một giao thức Arthur-Merlin công khai để thiết lập rằng một hệ phương trình trên ẩn số có một giải pháp trong , phụ thuộc vào Giả thuyết tổng quát. Ở đây Merlin tìm thấy một số nguyên tố có cho một số băm ngẫu nhiên , cùng với một giải pháp cho mỗi phương trình .$m$$n$$\mathbb{C}^n$$p$$H(p)=0$$H$$(a_0,a_1,\cdots, a_n)$$m$$\bmod p$

Nếu hệ phương trình không có nghiệm , thì sẽ chỉ có một số hữu hạn của modulo mà một giải pháp tồn tại. Nếu hệ thống không có một giải pháp , sau đó vô điều kiện sẽ có một mật độ tích cực của với một giải pháp, và GRH cho phép rằng với một giải pháp được "equidistributed" trong một nghĩa nào đó, chẳng hạn rằng Merlin được một chiến thắng.$\bmod p$$p$$\bmod p$$p$$p$

Mặc dù Koiran đưa ra một ví dụ về một hệ thống có thể giải quyết nơi mật độ là theo cấp số nhân nhỏ, Koiran gợi ý rằng nếu hệ thống là có thể giải quyết trong , sau đó trong nhiều trường hợp sẽ có một số lượng lớn của (và một số lượng lớn ); thực sự khoảng số nguyên tố nên có giải pháp IIRCC.$p$$\mathbb{C}^n$ p$p$$a$$1-1/e$

Do đó, trong vấn đề trên, không chỉ tồn tại một phản hồi hợp lệ mà Merlin có thể đưa ra cho Arthur cho mỗi thử thách, mà trên thực tế có thể có một số lượng lớn các phản hồi hợp lệ.

Phân biệt các hệ phương trình dễ dàng với các giải pháp modulo nhiều từ các hệ phương trình cứng với một vài hoặc chỉ một dường như yêu cầu xác định các thuộc tính của một nhóm Galois của hệ phương trình.$p$$p$