Ý nghĩa của việc không thể thực hiện được

Tôi đã đọc " Có phải P Versus NP chính thức độc lập không? " Nhưng tôi đã bối rối.

Người ta tin tưởng rộng rãi vào lý thuyết phức tạp rằng . Câu hỏi của tôi là về điều gì nếu điều này không thể chứng minh được (nói trong ). (Giả sử rằng chúng tôi chỉ phát hiện ra rằng độc lập với nhưng không có thêm thông tin nào về cách điều này được chứng minh.) Z F C P ≠ N P Z F $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$

Ý nghĩa của tuyên bố này là gì? Cụ thể hơn,

độ cứng

Giả sử rằng nắm bắt các thuật toán hiệu quả ( luận án Edmonds ) và , chúng tôi chứng minh các kết quả để ngụ ý rằng chúng là vượt quá phạm vi hiện tại của các thuật toán hiệu quả của chúng tôi. Nếu chúng tôi chứng minh sự phân tách, có nghĩa là không có thuật toán thời gian đa thức. Nhưng kết quả có nghĩa là gì nếu việc phân tách không thể chứng minh được? Điều gì sẽ xảy ra với những kết quả này?P ≠ N P N P - h a r d n e s s N P - h a r d n e s s N P - h a r d n e s $\mathsf{P}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$$\mathsf{NP\text{-}hardness}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$

thuật toán hiệu quả

Không có khả năng phân tách có nghĩa là chúng ta cần thay đổi định nghĩa của chúng tôi về các thuật toán hiệu quả?

Câu hỏi của bạn có thể được đặt ra tốt hơn, "Lý thuyết phức tạp sẽ bị ảnh hưởng như thế nào khi phát hiện ra một bằng chứng cho thấy P = NP độc lập chính thức với một số hệ tiên đề mạnh?"

Thật khó để trả lời câu hỏi này một cách trừu tượng, nghĩa là, trong trường hợp không nhìn thấy các chi tiết của bằng chứng. Như Aaronson đã đề cập trong bài báo của mình, việc chứng minh tính độc lập của P = NP sẽ đòi hỏi những ý tưởng hoàn toàn mới, không chỉ về lý thuyết phức tạp, mà còn về cách chứng minh tuyên bố độc lập. Làm thế nào chúng ta có thể dự đoán hậu quả của một bước đột phá triệt để có hình dạng mà chúng ta hiện không thể đoán được?

Tuy nhiên, có một vài quan sát chúng ta có thể thực hiện. Trước sự chứng minh tính độc lập của giả thuyết liên tục từ ZFC (và sau đó là các hồng y lớn của ZFC +), một số lượng lớn người đã đưa ra quan điểm rằng giả thuyết liên tục không đúng cũng không sai . Chúng tôi có thể hỏi liệu mọi người sẽ đưa ra kết luận tương tự rằng P = NP là "không đúng hay sai" khi chứng minh tính độc lập (vì lý do tranh luận, giả sử rằng P = NP được chứng minh là độc lập với ZFC + tiên đề hồng y). Tôi đoán là không. Aaronson về cơ bản nói rằng anh ta sẽ không. Định lý bất toàn thứ 2 của Goedel đã không khiến bất cứ ai mà tôi biết phải lập luận rằng "ZFC là nhất quán" không đúng cũng không sai.câu lệnh và hầu hết mọi người đều có trực giác mạnh mẽ rằng các câu lệnh không đối xứng, hoặc ít nhất là các câu lệnh không đối xứng đơn giản như "P = NP" là tập tin phải là đúng hoặc sai. Một bằng chứng độc lập sẽ được giải thích khi nói rằng chúng ta không có cách nào xác định P = NP và P NP là trường hợp nào.$\ne$

Người ta cũng có thể hỏi liệu mọi người sẽ giải thích tình trạng này như thế nào khi nói với chúng ta rằng có gì đó "sai" với định nghĩa của chúng ta về P và NP. Có lẽ sau đó chúng ta nên làm lại nền tảng của lý thuyết phức tạp với các định nghĩa mới dễ làm việc hơn? Tại thời điểm này, tôi nghĩ rằng chúng ta đang ở trong vương quốc của sự đầu cơ hoang dã và không có kết quả, nơi chúng ta đang cố gắng vượt qua những cây cầu mà chúng ta chưa đến và cố gắng sửa chữa những thứ chưa bị phá vỡ. Hơn nữa, nó thậm chí không rõ ràng rằng bất cứ điều gì sẽbị "vỡ" trong kịch bản này. Các nhà lý thuyết tập hợp hoàn toàn hạnh phúc khi giả sử bất kỳ tiên đề lớn nào mà họ thấy thuận tiện. Tương tự như vậy, các nhà lý thuyết phức tạp cũng có thể, trong thế giới tương lai giả định này, hoàn toàn hạnh phúc khi giả sử bất kỳ tiên đề tách nào mà họ tin là đúng, mặc dù chúng không thể chứng minh được.

Nói tóm lại, không có gì nhiều sau logic từ một bằng chứng độc lập của P = NP. Bộ mặt của lý thuyết phức tạp có thể thay đổi hoàn toàn dưới ánh sáng của một bước đột phá tuyệt vời như vậy, nhưng chúng ta sẽ phải chờ xem sự đột phá đó trông như thế nào.

Đây là một câu hỏi hợp lệ, mặc dù có lẽ một chút không may phrased. Câu trả lời tốt nhất tôi có thể đưa ra là tài liệu tham khảo này:

Scott Aaronson: Là P so với NP chính thức độc lập . Bản tin của Hiệp hội Khoa học Máy tính Lý thuyết Châu Âu, 2003, tập. 81, trang 109-136.

Tóm tắt: Đây là một cuộc khảo sát về câu hỏi tiêu đề, được viết cho những người (như tác giả) xem logic là cấm, bí truyền và từ xa các mối quan tâm thông thường của họ. Bắt đầu với một khóa học sụp đổ về lý thuyết tập hợp Zermelo Fraenkel, nó thảo luận về sự độc lập của nhà tiên tri; bằng chứng tự nhiên; kết quả độc lập của Razborov, Raz, DeMillo-Lipton, Sazanov và những người khác; và những trở ngại để chứng minh P so với NP độc lập với các lý thuyết logic mạnh mẽ. Nó kết thúc với một số suy nghĩ triết học về việc khi nào người ta mong đợi một câu hỏi toán học sẽ có câu trả lời rõ ràng.

$[ZFC][1]$. Nó đơn giản có nghĩa là lý thuyết có thể chứng minh cả tuyên bố và phủ định của nó. Điều đó không có nghĩa là tuyên bố không có giá trị thật, điều đó không có nghĩa là chúng ta không thể biết giá trị thật của tuyên bố, chúng ta có thể thêm các tiên đề hợp lý mới sẽ làm cho lý thuyết đủ mạnh để có thể để chứng minh các tuyên bố hoặc phủ định của nó. Cuối cùng, tính chứng minh trong một lý thuyết là một khái niệm trừu tượng chính thức. Nó liên quan đến trải nghiệm thế giới thực của chúng ta chỉ như một mô hình.

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$$\Pi_1$Cấu trúc liên kết thông qua logic ", 1996.)

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\Sigma_2$và tìm kiếm các bài đăng trong danh sách gửi thư của FOM .

Như đã được chứng minh trong bài báo này:

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

Nếu P! = NP có thể được hiển thị là độc lập với Số học Peano, thì NP có giới hạn thời gian xác định cực kỳ gần với đa thức. Đặc biệt, trong trường hợp như vậy, có một thuật toán DTIME (n ^ 1og * (n)) tính toán SAT chính xác trên vô số khoảng thời gian đầu vào rất lớn.

Chỉ là một vài suy nghĩ lan man về điều này. Hãy phê bình.

Đặt Q = [không thể chứng minh (P = NP) và không thể chứng minh (P / = NP)]. Giả sử Q cho một mâu thuẫn. Tôi cũng sẽ cho rằng tất cả những khám phá đã biết về P vs NP vẫn còn khả thi. Cụ thể, tất cả các vấn đề NP đều tương đương theo nghĩa là nếu bạn có thể giải quyết một trong số chúng trong thời gian đa thức, bạn có thể giải quyết tất cả các vấn đề khác trong thời gian đa thức. Vì vậy, hãy để W là một vấn đề NP hoàn chỉnh; W đại diện bằng nhau cho tất cả các vấn đề trong NP. Do Q, người ta không thể có được một đại số A để giải W trong thời gian đa thức. Mặt khác, chúng tôi có bằng chứng rằng P = NP, mâu thuẫn với Q (1) (*). Lưu ý rằng tất cả các thuật toán được tính toán theo định nghĩa. Vì vậy, nói rằng A không thể tồn tại ngụ ý rằng không có cách nào để tính W trong thời gian đa thức. Nhưng điều này mâu thuẫn với Q (2). Chúng tôi chỉ còn cách từ chối (1) xor từ chối (2). Hoặc là trường hợp dẫn đến một sự kết án. Do đó, Q là một mâu thuẫn,

(*) Bạn có thể nói, "Aha! A có thể tồn tại, nhưng chúng ta không thể tìm thấy nó". Chà, nếu A tồn tại, chúng ta có thể liệt kê qua tất cả các chương trình để tìm A bằng cách liệt kê từ các chương trình nhỏ hơn đến các chương trình lớn hơn, bắt đầu với chương trình trống. A phải là hữu hạn vì nó là một thuật toán, vì vậy nếu A tồn tại, thì chương trình liệt kê để tìm nó phải chấm dứt.