Tính chất toàn cầu của các lớp di truyền?

Một lớp cấu trúc di truyền (ví dụ như đồ thị) là một lớp được đóng dưới các cấu trúc cảm ứng, hoặc tương đương, được đóng lại dưới sự loại bỏ đỉnh.

Các lớp biểu đồ loại trừ trẻ vị thành niên có các thuộc tính đẹp không phụ thuộc vào loại trừ nhỏ cụ thể. Martin Grohe đã chỉ ra rằng đối với các lớp đồ thị không bao gồm trẻ vị thành niên, có một thuật toán đa thức cho đẳng cấu và logic điểm cố định với việc đếm thời gian đa thức cho các lớp đồ thị này. (Grohe, Xác định điểm cố định và Thời gian đa thức trên đồ thị với các vị thành niên bị loại trừ , LICS, 2010) Chúng có thể được coi là thuộc tính "toàn cầu".

Có các thuộc tính "toàn cầu" tương tự được biết đến cho các lớp di truyền (biểu đồ hoặc cấu trúc tổng quát hơn) không?

Sẽ thật tốt khi thấy mỗi câu trả lời tập trung vào chỉ một tài sản cụ thể.

Di truyền thuộc tính rất "mạnh mẽ" theo nghĩa sau.

Noga Alon và Asaf Shapira cho thấy rằng đối với bất kỳ tài sản di truyền , nếu một đồ thị G cần hơn ε n 2 cạnh được thêm vào hoặc gỡ bỏ để thỏa mãn P , sau đó là một đồ thị con trong G , kích thước tối đa là f P ( ε ) , mà không đáp ứng P . Ở đây, hàm f chỉ phụ thuộc vào thuộc tính P (chứ không phụ thuộc vào kích thước của đồ thị G chẳng hạn). Erdős đã đưa ra một phỏng đoán như vậy chỉ về tính chất của k -colorability.${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

Thật vậy, Alon và Shapira chứng minh một thực tế mạnh sau: cho , đối với bất kỳ ε trong ( 0 , 1 ) , có N ( ε ) , h ( ε ) và δ ( ε ) ví dụ rằng nếu một đồ thị G có ít nhất N đỉnh và nhu cầu ít nhất ε n 2 cạnh thêm / gỡ bỏ để thỏa mãn P , sau đó cho ít nhất δ phần của đồ thị con gây ra trên h đỉnh, đồ thị con gây ra vi phạm${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$ . Vì vậy, nếu ε và tài sản P được cố định, để kiểm tra nếu một đồ thị đầu vào thỏa mãn P hoặc là ε -far từ thỏa mãn P , sau đó người duy nhất cần để truy vấn các cạnh của một đồ thị con gây ra ngẫu nhiên kích thước không đổi từ biểu đồ và kiểm tra xem nó có thỏa mãn tài sản hay không. Một thử nghiệm như vậy sẽ luôn chấp nhận các đồ thị đáp ứng P và sẽ từ chối đồ thị ε -far từ thỏa mãn nó với xác suất không đổi. Hơn nữa, bất kỳ tài sản nào có thể kiểm tra một phía theo nghĩa này là một tài sản di truyền! Xem bài báo của Alon và Shapira để biết chi tiết.${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

Điều này có thể không hoàn toàn như những gì bạn đã nghĩ, nhưng có những hạn chế đã biết về số lượng biểu đồ trên đỉnh có thể có trong một lớp biểu đồ di truyền. Ví dụ, không có lớp cha truyền con nối của đồ thị có từ 2 Ω ( n ) và 2 o ( n log n ) đồ thị trên n đỉnh.$n$$2^{\Omega(n)}$$2^{o(n\log{n})}$$n$

Tham khảo: E. Scheinerman, J. Zito, Về quy mô của các loại đồ thị di truyền, Tạp chí của lý thuyết kết hợp B

Điều này có liên quan đến câu trả lời của Travis. Trong thực tế, nó có thể được coi là một phiên bản mạnh mẽ hơn.

Một bài báo của Bollob \ 'như và Thomason show (Combinatorica, 2000) rằng trong Erd \ H {o} SR \' enyi đồ thị ngẫu nhiên (với p một số hằng số cố định), mỗi tài sản di truyền có thể được xấp xỉ bởi những gì họ gọi một tài sản cơ bản . Cơ bản gần như có nghĩa là đồ thị mà đỉnh bộ là công đoàn của r lớp, là trong đó bè phái khoảng và r - s trong đó trải rộng bộ độc lập, nhưng không hoàn toàn. Phép tính gần đúng này được sử dụng để mô tả kích thước của tập hợp P lớn nhất cũng như số P -chromatic của G n $G_{n,p}$$p$$r$$s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$ , trong đó P là một số tài sản di truyền cố định. Nếupđược phép thay đổi, hành vi không được hiểu rõ.$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

Để có thêm nền tảng cho công việc này và các công việc liên quan, có một cuộc khảo sát của Bollob \ 'như (Kỷ yếu của ICM 1998) cũng đưa ra một phỏng đoán hấp dẫn dọc theo các dòng này nhưng đối với các siêu dữ liệu.

Tôi thấy mối liên hệ sâu sắc giữa các đặc tính di truyền và Bổ đề thường xuyên của Szem \ 'eredi rất hấp dẫn, vì nó được sử dụng cả ở đây và trong kết quả Alon và Shapira.

Câu trả lời của Suresh về phỏng đoán AKR khiến tôi suy nghĩ về cùng một phỏng đoán cho các thuộc tính di truyền. Tôi nghĩ rằng (trừ khi tôi đã thực hiện một sai lầm) Tôi có thể chứng minh rằng tất cả các thuộc tính không tầm thường cha truyền con nối đã (ngẫu nhiên và xác định) cây quyết định phức tạp , trong đó giải quyết các phỏng đoán AKR cho tài sản đó (lên đến hằng số).$\Theta(n^2)$

Tôi đã cố gắng tìm kiếm tài liệu để xem nếu điều này đã được hiển thị ở đâu đó, nhưng tôi không thể tìm thấy một tài liệu tham khảo. Vì vậy, hoặc tôi không thể tìm thấy nó nhưng nó tồn tại hoặc định lý không thú vị hoặc tôi đã mắc lỗi.

Vì vậy, đây là một ví dụ khác về thuộc tính toàn cầu của tất cả các thuộc tính đồ thị di truyền.

$\Omega(n^c)$$c>0$

Đây là hướng "ngược", nhưng phỏng đoán Aanderaa-Rosenberg-Karp nổi tiếng áp dụng cho các thuộc tính đồ thị là đơn điệu trở lên (nghĩa là nếu G thỏa mãn tính chất, thì bất kỳ đồ thị nào trên cùng các nút có tập hợp cạnh đều chứa E (G )).