Về sự phức tạp của Tối thiểu hóa băng thông

Vấn đề băng thông đồ thị được định nghĩa như sau. Cho đồ thị , bố cục của là ánh xạ một-một của các đỉnh của lên các số nguyên . Các băng thông của được định nghĩa là$G=(V,E)$ $f$$G$$G$$\{1, \ldots, |V|\}$$f$

$bw(f) = \max \{|f(u) - f(v)| \mid \{u,v\} \in E\}$ .

Các băng thông của$G$ , ký hiệu là $bw(G)$ , được định nghĩa là băng thông tối thiểu của một bố trí, tối thiểu được thực hiện trên tất cả các bố trí tốt.

Câu hỏi quyết định là: đưa ra một đồ thị $G$ và một số nguyên $k$ , là $bw(G) \le k$ ?

Vấn đề này được biết là hoàn thành NP ngay cả đối với các cây có mức độ tối đa ba [ Kết quả phức tạp để tối thiểu hóa băng thông . Garey, Graham, Johnson và Knuth, SIAM J. Appl. Toán., Tập. 34, số 3, 1978]. Các tác giả cho thấy người ta có thể kiểm tra xem một đồ thị có băng thông nhiều nhất là hai trong thời gian đa thức hay không. Trường hợp $bw \le 3$ đã mở.

Là sự phức tạp của trường hợp $bw \le 3$ được biết đến? Chúng ta biết gì về sự phức tạp của vấn đề khi $k$ không phải là một phần của đầu vào mà là hằng số cố định ít nhất là $4$ ?

Tài liệu tham khảo sẽ tốt đẹp.

Vấn đề băng thông là $W[t]$ -hard cho tất cả $t$ . Nó được hiển thị bởi Bodlaender et al. trong "Vượt quá mức độ hoàn thiện NP cho các vấn đề về độ rộng giới hạn." Xem giấy .

Mặt khác, nó cũng được biết rằng đối với bất kỳ , cho dù một đồ thị cho có băng thông tối đa là thể được quyết định trong thời gian. Điều này ngụ ý rằng vấn đề băng thông là trong . Xem bài báo khác của Saxe.$k$$k$$O(f(k)n^{k+1})$$XP$