Các vấn đề mở trên biên giới của TCS

Trong chủ đề Các vấn đề lớn chưa được giải quyết trong khoa học máy tính lý thuyết? , Iddo Tzameret đã đưa ra nhận xét xuất sắc sau:

Tôi nghĩ rằng chúng ta nên phân biệt giữa các vấn đề mở lớn được xem là vấn đề cơ bản, như và các vấn đề mở lớn sẽ tạo thành một bước đột phá kỹ thuật, nếu được giải quyết, nhưng không nhất thiết là giới hạn cơ bản, ví dụ, giới hạn thấp hơn theo cấp số nhân trên mạch (tức là cổng). Vì vậy, chúng ta có thể nên mở một wiki cộng đồng mới có tên "các vấn đề mở ở biên giới của TCS", hoặc tương tự.$P\neq NP$$AC^0(6)$$AC^0+\mod 6$

Vì Iddo không bắt đầu chuỗi, tôi nghĩ tôi sẽ bắt đầu chuỗi này.

Thông thường các vấn đề mở chính của các lĩnh vực được biết đến bởi các nhà nghiên cứu làm việc trong các lĩnh vực liên quan, nhưng điểm mà nghiên cứu hiện tại bị mắc kẹt là không rõ đối với người ngoài. Ví dụ được trích dẫn là một trong những tốt. Là một người ngoài cuộc, rõ ràng một trong những vấn đề lớn nhất về độ phức tạp của mạch là cho thấy NP yêu cầu các mạch kích thước siêu đa thức. Nhưng người ngoài có thể không nhận thức được rằng điểm hiện tại mà chúng ta đang mắc kẹt đang cố gắng chứng minh giới hạn dưới theo cấp số nhân cho các mạch AC ⁰ với cổng 6 mod. (Tất nhiên có thể có các vấn đề phức tạp mạch khác có độ khó tương tự sẽ mô tả nơi chúng ta bị mắc kẹt. Đây không phải là duy nhất.) Một ví dụ khác là hiển thị giới hạn không gian thời gian cho SAT tốt hơn n ^1.801 .

Chủ đề này là ví dụ như thế này. Vì rất khó để mô tả các vấn đề như vậy, tôi sẽ chỉ đưa ra một số ví dụ về các thuộc tính mà các vấn đề đó sở hữu:

1. Thường sẽ không phải là vấn đề mở lớn của lĩnh vực này, nhưng sẽ là một bước đột phá lớn nếu được giải quyết.
2. Thường không khó tin, theo nghĩa là nếu ai đó nói với bạn rằng vấn đề đã được giải quyết vào ngày hôm qua, điều này sẽ không quá khó tin.
3. Những vấn đề này cũng thường sẽ có những con số hoặc hằng số không phải là cơ bản, nhưng chúng phát sinh bởi vì điều này xảy ra là nơi chúng ta bị mắc kẹt.
4. Vấn đề ở biên giới của một lĩnh vực cụ thể sẽ liên tục thay đổi theo thời gian, trái ngược với vấn đề lớn nhất trong lĩnh vực này, sẽ vẫn giữ nguyên trong nhiều năm.
5. Thông thường những vấn đề này là những vấn đề dễ nhất vẫn còn mở. Ví dụ: chúng tôi cũng không có giới hạn theo cấp số nhân cho AC ¹ , nhưng vì [6] được bao gồm trong lớp đó, nên chính thức hiển thị giới hạn thấp hơn cho [6], và do đó, đó là tại biên giới hiện tại của sự phức tạp mạch.$AC^0$$AC^0$

Xin vui lòng gửi một ví dụ cho mỗi câu trả lời; danh sách lớn tiêu chuẩn và quy ước CW được áp dụng. Nếu ai đó có thể giải thích loại vấn đề nào chúng tôi đang tìm kiếm tốt hơn tôi có, vui lòng chỉnh sửa bài đăng này và thực hiện các thay đổi phù hợp.

EDIT: Kaveh đề nghị rằng các câu trả lời cũng bao gồm một lời giải thích về lý do tại sao một vấn đề nhất định lại ở biên giới. Ví dụ: tại sao chúng ta tìm kiếm giới hạn thấp hơn so với AC ⁰ [6] mà không phải AC ⁰ [3]? Câu trả lời là chúng tôi có giới hạn thấp hơn so với AC ⁰ [3]. Nhưng sau đó, câu hỏi rõ ràng là tại sao các phương thức đó không thành công cho AC ⁰ [6]. Sẽ thật tốt nếu câu trả lời cũng có thể giải thích điều này.

Dưới đây là ba nghiên cứu về con đường ngắn nhất:

$1$ . Có một thuật toán thời gian tuyến tính cho các đường dẫn ngắn nhất nguồn đơn trong các đồ thị có hướng với trọng số không âm, ít nhất là trong mô hình tính toán từ RAM-RAM? Lưu ý rằng thuật toán thời gian tuyến tính tồn tại cho các đồ thị vô hướng (xem bài viết của Thorup). Dựa vào đó, Hagerup có thời gian chạy là cho các đồ thị có hướng với trọng số giới hạn bởi . Có một thuật toán nhanh hơn?$O(n+m\log w)$$2^w$

$2$ . Có thuật toán polylog cho tất cả các cặp đường dẫn ngắn nhất trong đồ thị có hướng không trọng số không? ( là số mũ của phép nhân ma trận) Thời gian chạy tốt nhất hiện tại là của Zwick và đối với các đồ thị không xác định, vấn đề có thể được giải quyết trong polylog .$O(n^\omega$$n)$$\omega<2.376$$O(n^{2.575})$$O(n^\omega$$n)$

(Các vấn đề được định hướng có thực sự khó hơn không?)

$3$ . Có thuật toán cho tất cả các cặp đường dẫn ngắn nhất trong đồ thị -ode với trọng số trong { } không? Hoặc, có sự giảm từ vấn đề chung tất cả các cặp đường dẫn ngắn nhất đến hạn chế này không?$O(n^{2.9})$$n$$0,\ldots,n$

Điều này đã được đề cập trong câu hỏi:

Mở:

Tách khỏi ( mạch có độ sâu 2). $EXP^{NP}$$AC^0_2[6]$$AC^0[6]$(xem bản cập nhật bên dưới)

[Tháng 11 11, 2010] riêng biệt từ . riêng biệt từ .$EXP$$AC^0_2[6]$$EXP^{NP}$$TC^0$

Được biết:

1. [Alexander Razborov 1987 - Roman Smolensky 1987] không ở nếu là số nguyên tố và không phải là thừa của .$MOD_m$$AC^0[p^k]$$p$$m$$p$

2. [Arkadev Hayopadhyay và Avi Wigderson 2009] Gọi m, q là các số nguyên đồng biến sao cho m không có hình vuông và có nhiều nhất hai yếu tố chính. Đặt C là bất kỳ mạch loại trong đó là cổng hoặc và các cổng ở cơ sở có các bộ chấp nhận tùy ý. Nếu C tính thì fan-in hàng đầu và do đó kích thước mạch, phải là .$MAJoGoMOD^A_m$$G$$AND$$OR$$MOD_m$$MOD_q$$2^{{\Omega(n)}}$

Kết quả sau này dựa trên việc có được mối tương quan nhỏ theo hàm mũ của hàm với các độ sâu 2 và ước tính các tổng số mũ liên quan đến đa thức bậc thấp.$MOD_q$

Trở ngại :?

Cập nhật [tháng 11 10, 2010]

Một bài báo của Ryan Williams dường như đã giải quyết vấn đề mở này bằng các phương pháp dường như khác về cơ bản với các phương pháp được đề cập ở trên:

[Ryan Williams 2010] không có mạch không đồng nhất có kích thước .$E^{NP}$$ACC^0$$2^{n^{o(1)}}$

Người giới thiệu:

• Raz Razovov. Giới hạn thấp hơn về kích thước của các mạng độ sâu giới hạn trên cơ sở hoàn chỉnh với sự bổ sung hợp lý (tiếng Nga), trong MHRaticheskie Zametki, 41 (4): 598 Chuyện607, 1987. Bản dịch tiếng Anh trong Ghi chú toán học của Viện hàn lâm khoa học Liên Xô, 41 (4): 333 Phiên338, 1987.

• R. Smolensky. Các phương pháp đại số trong lý thuyết giới hạn dưới cho độ phức tạp của mạch Boolean. Trong STOC, trang 77 Chỉ82. ACM, 1987.

• Arkadev Hayopadhyay và Avi Wigderson. Hệ thống tuyến tính trên Moduli composite , FOCS 2009

• Ryan Williams. Mạch không giới hạn ACC không giới hạn , 2010, bản nháp (đã nộp?).

Đặt CNF-SAT là vấn đề xác định xem một công thức CNF nhất định có thỏa đáng hay không (không hạn chế về độ rộng của mệnh đề).

CNF-SAT trên biến và mệnh đề có thể giải được trong trong một số không?$n$$m$$2^{\delta n} poly(m)$$\delta < 1$

Đây là một vấn đề mở nổi tiếng trong lĩnh vực "thuật toán nhanh hơn cho NP". Tôi không nghĩ rằng nó đã đạt được trạng thái "vấn đề mở lớn" nhưng nó đã thu hút khá nhiều sự chú ý. Các thuật toán được biết đến nhiều nhất chạy trong thời gian (ví dụ: ở đây ).$2^{n-\Omega(n/\log (m/n))}$

Liên quan đến Giả thuyết Thời gian theo cấp số nhân (rằng 3SAT không phải là thời gian phụ), cũng có một "Giả thuyết thời gian theo hàm mũ mạnh mẽ" rằng thời gian chạy tối ưu cho -SAT hội tụ đến là . Một hậu quả của Strong-ETH là câu trả lời cho câu hỏi trên là không. Một số giả thuyết hợp lý ngụ ý rằng câu trả lời là có , nhưng ai biết được.$k$$2^{n}$$k \rightarrow \infty$

Tôi nghĩ rằng đó là một trong những vấn đề dường như được "giải quyết" theo bất kỳ cách nào: hoặc chúng tôi sẽ hiển thị câu trả lời có hoặc chúng tôi sẽ chỉ ra rằng câu trả lời có ngụ ý điều gì đó rất quan trọng. Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi sẽ có sự hài lòng khi giải quyết vấn đề, trong trường hợp thứ hai, chúng tôi sẽ đặt câu hỏi cho "vấn đề mở lớn" ... không có câu trả lời nào ngụ ý , và một câu trả lời có ngụ ý một cái gì đó rất lớn. :)$P \neq NP$

Câu hỏi liệu cây quyết định có thể học được PAC dường như nằm ở biên giới của lý thuyết học tính toán hay không.

MỞ

Cây quyết định (DT) PAC có thể học được dưới sự phân phối thống nhất trên các ví dụ (hoặc nói chung) không?

BIẾT

• DT không thể học được dưới sự phân phối thống nhất với Truy vấn thống kê (SQ) [ Blum et al. '94 ]
• DT ngẫu nhiên có thể học được theo phân phối thống nhất [ Jackson, Servedio '05 ]
• DT đơn điệu có thể học được theo phân phối thống nhất [ O'Donnell, Servedio '06 ]
• một phân tích trơn tru để học DT theo phân phối thống nhất [ Kalai, Teng '08 ]

Lý do đây là một vấn đề thú vị và quan trọng là bởi vì cây quyết định là một lớp rất tự nhiên và không giống như automata, chúng ta không có kết quả độ cứng mật mã làm cho vấn đề trở nên vô vọng. Tiến bộ cho câu hỏi này có lẽ có thể cung cấp cái nhìn sâu sắc về việc DT (và các lớp tương tự) có thể học được mà không cần các giả định phân phối. Điều này có thể có tác động thực tế ngoài việc là một bước đột phá về mặt lý thuyết.

Vấn đề này dường như cũng đã được giải quyết từ mọi phía. Chúng tôi biết rằng theo phân phối thống nhất trên các ví dụ: cây quyết định đơn điệu có thể học được, cây quyết định ngẫu nhiên có thể học được và cũng tồn tại một phân tích được làm mịn. Chúng tôi cũng biết rằng thuật toán SQ sẽ không giải quyết được vấn đề này. Và cũng có tiến bộ ổn định trong lĩnh vực này. Mặt khác, đây là một vấn đề khó khăn đã được mở trong một thời gian, vì vậy điều này dường như phù hợp với dự luật "Vấn đề mở trên biên giới của TCS".

Lưu ý rằng có những kết quả khác mà tôi đã không đi sâu vào độ cứng của việc học DT đúng cách , về khả năng học DT với các truy vấn và về độ khó của việc học ngay cả DT ngẫu nhiên với SQ.

MỞ:

Hiển thị giới hạn dưới trong mô hình thăm dò ô cho một vấn đề cấu trúc dữ liệu tĩnh rõ ràng, điều đó chứng tỏ rằng theo một số hạn chế không gian "hợp lý" (ví dụ: không gian có đa thức về kích thước của đầu vào), thì thời gian truy vấn phải ở ít nhất T, trong đó T lớn hơn log | Q |, trong đó Q là tập hợp các truy vấn. Đây được gọi là "log | Q | -barrier" (hoặc đôi khi, theo cách được đặt tên sai, "logn-rào cản").

BIẾT:

1. giới hạn dưới cao hơn log | Q | cho một vấn đề ngầm (xem khảo sát của Miltersen )

2. giới hạn dưới cao hơn log | Q | với các giới hạn không gian cực đoan (ví dụ: giới hạn thấp hơn)

3. giới hạn dưới cao hơn log | Q | đối với các sự cố động (trong đó ý tôi là nếu thời gian cập nhật rất nhỏ thì thời gian truy vấn phải rất lớn hoặc ngược lại; xem ví dụ: giới hạn dưới của Patrascu với tổng một phần)

4. Giới hạn dưới trong các mô hình bị hạn chế, chẳng hạn như máy con trỏ, mô hình so sánh, v.v.

5. giới hạn dưới phá vỡ nhật ký | Q | rào cản không thể được chứng minh bằng loại giảm tiêu chuẩn đối với độ phức tạp trong giao tiếp, bởi vì Alice chỉ có thể tự gửi truy vấn, chỉ mất log | Q | và do đó, thật dễ dàng để xác minh rằng việc giảm sẽ không bao giờ đưa ra giới hạn thấp hơn tốt hơn mức này. Do đó, phải sử dụng "bản địa" ràng buộc cho mô hình thăm dò tế bào hoặc sử dụng một số giảm thông minh hơn cho độ phức tạp truyền thông.

Trong các lớp phức tạp cấp thấp, có một vấn đề thú vị về đặc tính của .$\mathsf{NL}$

MỞ:

Chỉ ra rằng liệu có bằng .$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$

$\mathsf{UL}$ , logspace rõ ràng , là lớp bao gồm các vấn đề có thể được giải quyết bằng một -machine với ràng buộc bổ sung rằng có nhiều nhất một đường dẫn tính toán chấp nhận.$\mathsf{NL}$

BIẾT:

• Trong các trường hợp không thống nhất , . [RA00]$\mathsf{NL/poly} = \mathsf{UL/poly}$
• Theo các giả định về độ cứng hợp lý ( yêu cầu các mạch kích thước theo cấp số nhân), kết quả của [RA00] có thể được tạo ra để thể hiện rằng . [ARZ99]$\mathsf{SPACE}(n)$$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$
• Khả năng hiển thị trên biểu đồ 3 trang đã hoàn tất cho . [PTV10]$\mathsf{NL}$
• Khả năng hiển thị trên biểu đồ 2 trang có thể giải được đối với . [BTV09]$\mathsf{UL}$
• Nếu , thì . [AJ93]$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$$\mathsf{FNL} \subseteq \mathsf{\sharp L}$

KHÔNG XÁC ĐỊNH:

• Một lớp trung gian , được định nghĩa là các vấn đề có thể giải quyết được bằng một -machine với nhiều đường dẫn tính toán chấp nhận nhiều nhất, nằm giữa và . Không có sự sụp đổ được biết đến.$\mathsf{FewL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$
• Được biết, bởi Định lý Immerman-Szelepcsényi nổi tiếng, trong khi liệu có bị đóng dưới bổ sung hay không.$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{UL}$

Một số vấn đề mở của PCP:

• Phỏng đoán tỷ lệ trượt. Trong PCP, chúng tôi muốn lỗi của trình xác minh càng nhỏ càng tốt. BGLR phỏng đoán rằng lỗi có thể đi đến trong đó là tính ngẫu nhiên (rõ ràng có giới hạn dưới ). Cái giá bạn phải trả cho việc giảm lỗi chỉ là tăng bảng chữ cái một cách thích hợp.$2^{-\Theta(r)}$$r$$2^{-r}$

Chính thức hơn: phỏng đoán là tồn tại ac, sao cho tất cả r tự nhiên, với tất cả , có một trình xác minh PCP sử dụng tính ngẫu nhiên r để thực hiện hai truy vấn cho bằng chứng của nó, hoàn hảo tính đầy đủ và lỗi âm thanh . Bảng chữ cái của bằng chứng chỉ phụ thuộc vào .$\varepsilon \geq 2^{-cr}$$\varepsilon$$1/\varepsilon$

Đối với hai truy vấn, lỗi được biết đến nhiều nhất là đối với một số cụ thể (M-Raz, 2008). Người ta cũng có thể đạt được lỗi cho bất kỳ , với một số truy vấn phụ thuộc vào (DFKRS).$1/r^{\beta}$$\beta>0$$2^{-r^{\alpha}}$$\alpha <1$$\alpha$

Giới hạn dưới của c (nghĩa là các thuật toán gần đúng) cũng được tìm kiếm.

Xem khảo sát của Irit Dinur để biết thêm chi tiết.

• Chiều dài tuyến tính PCP. Có mã sửa lỗi khoảng cách cao với chiều dài tuyến tính. Có một PCP với chiều dài tuyến tính?

Cụ thể, chúng tôi muốn một trình xác minh tính thỏa đáng của công thức SAT có số lượng truy vấn không đổi, bảng chữ cái không đổi và lỗi không đổi và truy cập một bằng chứng về độ dài tuyến tính theo độ dài của công thức? Điều này là mở ngay cả đối với lỗi gần 1 (nhưng tốt hơn so với ) tầm thường , bảng chữ cái theo cấp số nhân và số lượng truy vấn tuyến tính phụ.$1-1/n$

Độ dài được biết đến nhiều nhất là cho lỗi không đổi và cho lỗi không đổi phụ.$n polylog n$$n \cdot 2^{(log n)^{1-\beta}}$

Chứng minh rằng với mọi , có một ngôn ngữ trong không có mạch (không đồng nhất) với dây . Hãy nhớ lại rằng . Đó là, chứng minh giới hạn mạch siêu tuyến trong thời gian theo cấp số nhân với quyền truy cập vào một nhà tiên tri .$c > 0$$E^{NP}$$c n$$E = \bigcup_{k \geq 1} TIME[2^{k n}]$$NP$

A - mã giải mã theo chiều dọc (LDC) là bản đồ sao cho có thuật toán , được gọi là bộ giải mã cục bộ , được cho là đầu vào một số nguyên và một từ nhận được khác với đối với một số trên phần của các vị trí, tìm kiếm tối đa tọa độ của và xuất ra với xác suất ít nhất là . LDC được gọi là tuyến tính nếu$(q,\delta,\epsilon)$$C: \mathbb{F}^m \to \mathbb{F}^n$$A$$i \in [m]$$y \in \mathbb{F}^n$$C(x)$$x \in \mathbb{F}^m$$\delta$$q$$y$$x_i$$1/|\mathbb{F}| + \epsilon$$\mathbb{F}$là một trường và là -linear. LDC có nhiều ứng dụng về lý thuyết phức tạp và quyền riêng tư, trong số những ứng dụng khác.$C$$\mathbb{F}$

Với và hằng số , tình huống được giải quyết hoàn toàn. Mã Hadamard là LDC tuyến tính với và điều này được biết là về cơ bản là tối ưu, ngay cả đối với các LDC phi tuyến tính. Nhưng ở đây, là biên giới! Ngay khi chúng tôi thực hiện , có một khoảng cách rất lớn giữa giới hạn trên và dưới đã biết. Giới hạn trên tốt nhất hiện tại là LDC tuyến tính trên bất kỳ trường hữu hạn nào (và thậm chí cả thực và phức) với độ phức tạp truy vấn [ Efremenko '09 , Dvir-Gopalan-Yekhanin '10 ]. Giới hạn dưới tốt nhất là$q=2$$\delta,\epsilon$$2$$n = \exp(m)$$q=2$$q=3$$3$$n=\exp(\exp(\sqrt{\log m \log \log m})) = 2^{m^{o(1)}}$$\Omega(m^2)$ cho tuyến tính -query LDC của trên lĩnh vực bất kỳ và cho chung -query LDC của [ Woodruff '10 ]. Tình hình cho số lượng truy vấn lớn hơn thậm chí còn khủng khiếp hơn.$3$$\Omega(m^2/\log m)$$3$

Khoảng cách lớn nhất có thể có giữa độ phức tạp truy vấn lượng tử xác định và (lỗi hai mặt) cho tổng số hàm là gì?

Mở:

Có tồn tại một hàm tổng có độ phức tạp truy vấn lượng tử là T và độ phức tạp của truy vấn xác định là ω (T ² ) không?

Có tồn tại một hàm tổng có độ phức tạp truy vấn lượng tử là T và độ phức tạp của truy vấn xác định là ω (T ⁴ ) không?

Nếu một hàm tổng có thể được tính toán với các truy vấn T bằng thuật toán lượng tử, thì nó có thể luôn được tính bằng các truy vấn bằng thuật toán xác định không?$o(T^6)$

Được biết:

Nếu độ phức tạp truy vấn lượng tử của một hàm tổng là T, thì độ phức tạp truy vấn xác định của nó là . (Tài liệu tham khảo)$O(T^6)$

Khoảng cách lớn nhất được biết là đạt được bởi hàm OR, đạt được khoảng cách bậc hai.

Cập nhật (ngày 21 tháng 6 năm 2015) : Bây giờ chúng ta biết một chức năng đạt được sự phân tách tứ cực (sức mạnh thứ 4). Xem http://arxiv.org/abs/1506.04719 .

Người ta phỏng đoán rằng hàm OR đạt được khoảng cách tối đa có thể.

Theo đề nghị của Ashley, hãy để tôi thêm vấn đề tương tự để tính toán chính xác.

Mở:

Có tồn tại một hàm tổng có độ phức tạp truy vấn lượng tử chính xác là T không và độ phức tạp của truy vấn xác định là ?$\omega(T)$

Được biết:

Nếu độ phức tạp truy vấn lượng tử chính xác của một hàm tổng là T, thì độ phức tạp truy vấn xác định của nó là . (Tài liệu tham khảo)$O(T^3)$

Khoảng cách được biết đến nhiều nhất là hệ số 2.

Cập nhật (ngày 5 tháng 11 năm 2012) : Điều này đã được cải thiện trong lợi thế Superlinear cho các thuật toán lượng tử chính xác của Andris Ambainis . Từ bản tóm tắt: "Chúng tôi trình bày ví dụ đầu tiên về hàm Boolean f (x_1, ..., x_N) mà thuật toán lượng tử chính xác có lợi thế siêu tuyến so với thuật toán xác định. Bất kỳ thuật toán xác định nào tính toán hàm của chúng tôi phải sử dụng N truy vấn nhưng một thuật toán lượng tử chính xác có thể tính toán nó với các truy vấn O (N ^ {0.8675 ...}). "

Có một số vấn đề mở về độ phức tạp bằng chứng, tôi sẽ chỉ đề cập đến một vấn đề vẫn còn mở ngay cả sau khi một số chuyên gia đã dành nhiều năm để cố gắng giải quyết nó. Đây là phiên bản phức tạp chứng minh của trạng thái trong độ phức tạp mạch. (Xem [Segerlind07] nếu bạn muốn thấy nhiều vấn đề mở hơn về độ phức tạp bằng chứng.)

Mở

Chứng minh các giới hạn kích thước bằng chứng siêu chính trị cho hệ thống chứng minh -Frege.$AC^0[2]$

$AC^0[2]$ -Frege (còn gọi là d-Frege + ) là hệ thống bằng chứng đề xuất chỉ cho phép các ( với các cổng ).$CG_2$$AC^0[2]$$AC^0$$\bmod 2$

Được biết

1. Có kích thước bằng chứng theo cấp số nhân cho -Frege (còn gọi là Frege độ sâu không đổi, d-Frege) cho (công thức mệnh đề của Nguyên tắc Pigeon-Hole với pigeons và lỗ hổng). Ngoài ra còn có các mức thấp hơn theo cấp số nhân cho -Frege + (Frege độ sâu không đổi khi đếm các tiên đề ). Người ta cũng biết rằng -Frege + không bị giới hạn về đa thức.$AC^0$$PHP^{n+1}_{n}$$n+1$$n$$AC^0$$CA_p$$\bmod p$$AC^0$$CA_m$

2. Có các mức giảm kích thước mạch theo hàm mũ cho lớp mạch tương ứng là .$AC^0[2]$

Người giới thiệu:

• Nathan Segerlind, "Sự phức tạp của các bằng chứng đề xuất", Bản tin về logic tượng trưng 13 (4), 2007

Mở:

Hiển thị một phân tách tiên tri giữa QIP (2) và AM. Đó là, cho thấy một vấn đề trong QIP (2) ^Một mà không có trong PM ^Một .

Vấn đề mở lớn là thể hiện sự tách biệt giữa nhà tiên tri và BQP. Nhưng chúng tôi thậm chí không có sự tách biệt giữa BQP và AM (vì AM nằm trong PH, nên điều này sẽ dễ dàng hơn). Thậm chí tệ hơn, làm cho BQP mạnh hơn đáng kể bằng cách cho phép 1 tương tác tròn với Merlin, cung cấp cho bạn lớp QAM hoặc QIP (2) (tùy thuộc vào tiền công khai hoặc tiền riêng) và chúng tôi vẫn không tách biệt.

Được biết:

Sự tách biệt được biết đến nhiều nhất là giữa BQP và MA, xuất phát từ bài báo này của John Watrous . Đối với các lớp phức tạp không phải là các lớp vấn đề quyết định, hãy xem các kết quả này của Scott Aaronson .

Tôi không chắc chắn nếu điều này thuộc về các vấn đề mở biên giới hoặc các vấn đề mở lớn , vì vậy các ý kiến ​​được hoan nghênh.

Mở:

rằng ngụ ý sụp đổ hay không.$\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$\mathsf{UP}$ ( thời gian đa thức không rõ ràng ) là một lớp được định nghĩa là các vấn đề quyết định được quyết định bởi máy NP với một ràng buộc bổ sung

• có nhiều nhất một đường dẫn tính toán chấp nhận trên bất kỳ đầu vào nào.

Vấn đề này đã được nêu trong blog phức tạp vào năm 2003.

Được biết:

Một kết quả của Hemaspaandra, Naik, Ogiwara và Selman cho thấy rằng nếu tuyên bố sau giữ, thì hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ xuống cấp độ thứ hai.

• Có một ngôn ngữ như vậy mà cho mỗi công thức trong SAT, có một độc đáo đáp ứng nhiệm vụ với trong .$\mathsf{NP}$$L$$\phi$$x$$(\phi,x)$$L$

Không xác định:

Bất kỳ sự sụp đổ hoặc chia tách không có khả năng.

Bài liên quan: Thông tin thêm về cú pháp so với các lớp ngữ nghĩa và UP vs NP .