Có những vấn đề có thể quyết định mà không có thuật toán nào chúng ta có thể đưa ra giới hạn thời gian không?

12

Có những vấn đề có thể quyết định sao cho không có thuật toán nào giải quyết được vấn đề chúng ta có thể đưa ra thời gian bị ràng buộc như là một hàm có độ dài n của thể hiện đầu vào không?

Tôi đến câu hỏi này vì tôi đã suy nghĩ về những điều sau đây:

Giả sử chúng ta có một vấn đề đệ quy, nhưng không thể giải quyết được. Giả sử thêm rằng tôi là "có" - vấn đề của vấn đề. Sau đó, đối với không có thuật toán xác định "có" - các vấn đề của vấn đề, chúng ta có thể đưa ra một khoảng thời gian bị ràng buộc về kích thước n của I. Vì nếu chúng ta có thể đưa ra một khoảng thời gian như vậy, chúng ta có thể quyết định vấn đề, vì chúng ta có thể đơn giản quyết định vấn đề kết luận rằng tôi là "không" - khi hết thời gian giới hạn.

Vì chúng ta không thể đưa ra thời gian bị ràng buộc cho vô số đệ quy, các vấn đề không thể giải quyết được (đối với thời gian tính toán cho "có"), tôi đã tự hỏi liệu có vấn đề nào có thể quyết định được không mà chúng ta không thể đưa ra thời gian ràng buộc.

computability time-complexity

— Hermann
nguồn

9

Có một thời gian tầm thường bị ràng buộc trên các thuật toán như vậy: chạy thuật toán và trả về số bước được thực hiện bởi thuật toán đó. Mặt khác, thật dễ dàng để xây dựng các ví dụ mà rất khó để đưa ra các giới hạn dễ hiểu hoặc diễn đạt, ví dụ như hàm ackermann.

— cody

2

Bạn sẽ phải chính xác hơn. Nếu bạn nói về các hàm (toán học), thì có, có một hàm khớp với thời gian chạy của bất kỳ máy Turing nào (trên thực tế, có nhiều chức năng hơn máy Turing). Nếu bạn nói về các hàm tính toán hoặc tương đương là các thuật toán, thì @cody sẽ cho bạn câu trả lời: chỉ cần chạy máy Turing quyết định vấn đề và tính thời gian chạy của nó.

— Alex ten Brink

8

@AlextenBrink: Trên thực tế, để có được thời gian chạy trong trường hợp xấu nhất là hàm của kích thước đầu vào

, bạn cần chạy máy Turing cho tất cả các đầu vào có thể có kích thước

và lấy tối đa. Nhưng tất nhiên điều này cũng có thể làm được.

n

$n$

n

$n$

— Jukka Suomela

8

Tôi có thể đề nghị sửa đổi không? Để tránh câu trả lời tầm thường, giả sử chúng ta định nghĩa cụm từ "chúng ta có thể đưa ra thời gian giới hạn" có nghĩa là "chúng ta có thể tính giới hạn trên trong thời gian chạy trường hợp xấu nhất nhanh hơn bằng cách chạy thuật toán trên tất cả các trường hợp có kích thước n." Hoặc có thể "tất cả các trường hợp" phải là "một trường hợp duy nhất".

— Jeffε

1

Đối số của bạn phụ thuộc vào hàm ràng buộc thời gian của bạn là tổng thể tính toán. Điều nổi tiếng là điều này không thể được thực hiện, nhưng nếu đó là câu hỏi của bạn (tức là có các hàm tính toán một phần không có phần mở rộng hàm tính toán tổng thể) thì câu hỏi không phải là cấp độ nghiên cứu. Vui lòng xem Câu hỏi thường gặp để biết các đề xuất về nơi bạn có thể hỏi loại câu hỏi này.

— Kaveh

13

$A$ $\mathsf{In}$

f (n) = = \underset{Tôi \in Tôi n (n)}{tối đa} t Tôi m e (Một (Tôi)),

$f(n)=\max_{i\in \mathsf{In(n)}}~~ \mathsf{time}(A(i)),$

I n (n)

$\mathsf{In}(n)$

n

$n$

t i m e (A (i))

$\mathsf{time}(A(i))$

A

$A$

i

$i$

Nếu chúng ta sử dụng các thuật ngữ đại số đơn giản (không có đệ quy bất kỳ loại nào) như định nghĩa ngắn gọn, thì tôi nghĩ câu trả lời là không: Có những vấn đề có thể được quyết định nhưng sự phức tạp của nó là không liên quan. Đó là, không tồn tại một ngăn xếp có dạng giới hạn thời gian thực hiện của thuật toán cho một vấn đề có kích thước n. $2^{2^{2^{2^{\dots^n}}}}$

Tôi hy vọng tôi hiểu câu hỏi của bạn theo cách đúng.

— Markus
nguồn

6

Đây là một câu hỏi hơi khác so với câu hỏi của bạn so với câu hỏi của Marcus, nhưng theo cách giải thích của bạn về cách bạn nghĩ về câu hỏi này, nó có thể gần với những gì bạn đang tìm kiếm.

Đôi khi người ta có thể chứng minh rằng một vấn đề là có thể quyết định, mà không thể thể hiện thuật toán cho nó. Ví dụ nổi tiếng nhất của loại điều này là công trình của Robertson và Seymour trên các vị thành niên đồ thị, cho thấy rằng bất kỳ thuộc tính đồ thị di truyền nào cũng có thể được quyết định trong thời gian đa thức, bằng cách kiểm tra sự hiện diện của một danh sách hữu hạn của các vị thành niên bị cấm. Bằng chứng của họ chỉ cho thấy rằng một danh sách hữu hạn của trẻ vị thành niên bị cấm tồn tại, nhưng không cung cấp công thức để tìm danh sách.

Tôi không phải là chuyên gia trong khu vực nên tôi không biết một ví dụ cụ thể về thuộc tính đồ thị di truyền mà chúng tôi không thể đưa ra thuật toán vì chúng tôi không biết danh sách các vị thành niên bị cấm và chúng tôi không biết cách nào khác để giải quyết vấn đề, nhưng tôi nghi ngờ rằng những ví dụ như vậy tồn tại. (Và chúng ta có thể giới hạn thời gian chạy để tìm một ví dụ nếu nó tồn tại, vì chúng ta biết rằng có nhiều nhất 8 tỷ người trên thế giới và trong trường hợp xấu nhất chúng ta có thể hỏi tất cả họ!)

Một nhận xét thêm: Kể từ khi chúng ta biết rằng kiểm tra cho trẻ vị thành niên có thể được thực hiện trong thời gian, bạn có thể tranh luận rằng trong tất cả các trường hợp được cung cấp bởi các thuật toán Robertson-Seymour, chúng ta có một "ràng buộc" của về thời gian chạy. Tuy nhiên, tôi sẽ lập luận rằng đây là loại gian lận, nếu chúng ta không bị ràng buộc vào hằng số. $O(n^3)$ $O(n^3)$

— Timothy Chow
nguồn

2

Nhưng nếu bạn chọn một tập hợp rõ ràng các vị thành niên bị loại trừ, thì bạn có thể hiển thị một thuật toán. Tốt hơn là chọn một số tài sản di truyền chưa được nghiên cứu. Điều này là một chút khó khăn hơn để làm, mặc dù.

— Timothy Chow

2

Nó khá tiếp tuyến với quan điểm của bạn, nhưng: trên thực tế, các thuộc tính đồ thị đóng nhỏ có thể được quyết định trong thời gian nghiên cứu

.nii.ac.jp / ~k_keniti /quaddp1.pdf .

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

1

@ EmilJeřábek: thậm chí còn hữu hình hơn, quyết định xem một đồ thị từ một gia đình đóng nhỏ có thỏa mãn một tài sản đặt hàng đầu tiên có thể được thực hiện trong thời gian tuyến tính không: arxiv.org/abs/1109.5036

— András Salamon

1

Nhân tiện, Kowarabayashi và Wollan tuyên bố ràng buộc về hằng số trong bài báo STOC 2011 của họ dsi.uniroma1.it/~wollan/PUBS/shorter_struct_web.pdf cũng báo cáo về tiến trình tiếp theo "chưa được viết đầy đủ". Tuy nhiên, tôi không thể dễ dàng trích xuất một ràng buộc rõ ràng từ bài báo này.

— András Salamon

2

Ví dụ như vậy, bạn có các biểu đồ với nắp phẳng. Thật kỳ lạ, chúng ta gần như biết một danh sách: có 31 vị thành niên bị cấm và tiềm năng thứ 32, nhưng đối với cái cuối cùng này, nó có mở ra cho dù nó có nắp phẳng hay không. Do đó, chúng tôi không có thuật toán cho lớp biểu đồ này. Xem ví dụ: fi.muni.cz/~hlineny/ con / plcover20

— Denis

3

Chỉ để thêm một góc nhìn khác, tôi xin nhắc lại rằng không phải mọi vấn đề đều có sự phức tạp "nội tại", đó có lẽ là hậu quả thú vị nhất và bị lãng quên bằng cách nào đó của định lý tăng tốc của Blum.

Về cơ bản định lý nói rằng, đã sửa lỗi tăng tốc g mong muốn, bạn luôn có thể tìm thấy một vấn đề tính toán P sao cho bất kỳ chương trình nào giải P đều tồn tại một chương trình khác vẫn giải P và chạy nhanh hơn g lần so với trước.

Do đó, đối với loại vấn đề này, bạn không thể đưa ra thời gian ràng buộc. Tuyệt vời, và kết quả khá khó hiểu. Tất nhiên P có độ phức tạp rất lớn.

— Andrea Asperti
nguồn

Tại sao P có độ phức tạp rất lớn?

Bởi vì quá trình tăng tốc có thể được lặp đi lặp lại, do đó nó phải tương thích với một chuỗi thuật toán vô hạn về độ phức tạp giảm dần.

— Andrea Asperti

3

Khía cạnh lý thuyết của câu hỏi của bạn được Markus quan tâm. Thực tế hơn, một cách thú vị để hiểu câu hỏi của bạn là: có những vấn đề có thể quyết định mà chúng ta không biết về bất kỳ thời gian nào bị ràng buộc?

Câu trả lời là có: ví dụ, có thể xảy ra việc bạn có một thuật toán bán cho các trường hợp CÓ của vấn đề của bạn và một thuật toán bán cho các trường hợp KHÔNG. Điều này cung cấp cho bạn khả năng quyết định vấn đề của bạn, nhưng không bị ràng buộc về thời gian.

Dưới đây là một ví dụ chung: giả sử bạn có một hệ tiên đề cho phép bạn chứng minh tất cả các danh tính thực trong một số đại số. Hơn nữa, bạn biết rằng danh tính giả luôn được chứng kiến bởi một cấu trúc hữu hạn.

$I$ $I$ $I$ $I$

Một ví dụ về điều này là logic tuyến tính affine (LLW): hiện được gọi là hoàn thành Tháp [1], nhưng trong một thời gian, không có giới hạn nào được biết đến và chỉ có tính quyết định được hiển thị, sử dụng trong số các kỹ thuật khác thuộc tính mô hình hữu hạn [2] .

Người giới thiệu:

[1] Độ phức tạp không cơ bản để phân nhánh VASS, MELL và phần mở rộng. Ranko Lazic và Sylvain Schmitz. CSL-LICS 2014

[2] Thuộc tính mô hình hữu hạn cho các đoạn logic tuyến tính khác nhau. Yves Lafont, J. Symb. Hợp lý. 1997

— Denis
nguồn

-4

như những người khác đã nêu câu hỏi không được nêu theo cách tránh một câu trả lời tầm thường tuy nhiên có một số khái niệm trong lý thuyết số & TCS có liên quan / tương tự nhau.

1) trong các định lý phân cấp không gian và thời gian, khái niệm về các hàm "thời gian có thể xây dựng" và "không thể xây dựng được" là bắt buộc. Các hàm có thể xây dựng không thời gian và không có thời gian tồn tại và dẫn đến các thuộc tính bất thường được tìm thấy trong các định lý Blum như các định lý "khoảng cách, tăng tốc". hầu hết (tất cả?) các lớp phức tạp std được định nghĩa theo các hàm xây dựng không gian và thời gian.

2) hàm ackerman là tổng đệ quy nhưng không đệ quy nguyên thủy và điều này có ý nghĩa đối với thời gian bị ràng buộc. các hàm đệ quy nguyên thủy theo một nghĩa nào đó đại diện cho các phép toán "cơ bản".

3) có các thms về trình tự lý thuyết số không thể tính toán được trong số học peano có thể được hiểu là tạo ra các giới hạn thời gian không tính toán như trình tự goodstein hoặc paris-harrington thms

— vzn
nguồn

5

không phải là một câu trả lời cho câu hỏi

— Kaveh