Máy Turing phổ dụng 2 trạng thái không gây tranh cãi nhất là gì?

Tôi muốn mã hóa một máy Turing đơn giản theo luật chơi bài. Tôi muốn biến nó thành một cỗ máy Turing phổ quát để chứng minh sự hoàn chỉnh của Turing.

Cho đến nay tôi đã tạo một trạng thái trò chơi mã hóa máy Turing 2 trạng thái, 3 biểu tượng của Alex Smith . Tuy nhiên, dường như (thừa nhận dựa trên Wikipedia) rằng có một số tranh cãi về việc liệu máy (2, 3) có thực sự phổ biến hay không.

Vì lợi ích của tôi, tôi muốn bằng chứng của mình có UTM "không gây tranh cãi". Vì vậy, câu hỏi của tôi là:

1. Máy (2,3) thường được coi là phổ quát, không phổ quát hay gây tranh cãi? Tôi không biết nơi nào sẽ là nơi uy tín để tìm kiếm câu trả lời cho vấn đề này.

2. Nếu máy (2,3) không được chấp nhận rộng rãi là phổ quát, thì N nhỏ nhất sao cho máy (2, N) không được chấp nhận là phổ biến?

Chỉnh sửa để thêm: Sẽ rất hữu ích khi biết bất kỳ yêu cầu nào đối với băng vô hạn cho các máy được đề cập, nếu bạn tình cờ biết chúng. Có vẻ như máy (2,3) yêu cầu trạng thái ban đầu của băng không theo chu kỳ, điều này sẽ hơi khó mô phỏng theo các quy tắc của trò chơi bài.

Đã có một số kết quả mới kể từ khi công việc được trích dẫn trong các câu trả lời trước đó. Khảo sát này mô tả trạng thái của nghệ thuật (xem Hình 1). Kích thước của máy Turing phổ dụng nhỏ nhất được biết đến phụ thuộc vào chi tiết của mô hình và đây là hai kết quả có liên quan đến cuộc thảo luận này:

• Có một máy vạn năng tiêu chuẩn 2 trạng thái, 18 ký hiệu (Rogozhin 1996. TCS, 168 (2): 215 Phản240). Ở đây chúng ta có khái niệm thông thường về biểu tượng trống theo một hoặc cả hai hướng của một cuộn băng.
• $r$$l$

Có vẻ như (2,18) là hữu ích nhất cho bạn.

$M$$w$$t$$M$$w$$t$

Hình trên cho thấy các máy phổ biến nhỏ nhất được biết đến cho một loạt các mô hình máy Turing (được lấy từ Neary, Woods SOFSEM 2012), các tài liệu tham khảo có thể được tìm thấy ở đây .

Đây không phải là một câu trả lời thực sự cho câu hỏi của bạn (tôi không biết nhiều về cuộc tranh luận về máy (2,3)); nhưng tôi gợi ý cho bạn bài báo " Máy Turing nhỏ và cuộc thi hải ly bận rộn ". Tôi đã nhanh chóng đọc nó một thời gian trước đây và nó có một biểu đồ đẹp với các đường viền giữa 4 loại TM nhỏ:

• quyết định
• mở vấn đề giống Collatz
• $3x + 1$
• phổ cập

(có lẽ một số kết quả đã được cải thiện).

Khái niệm về TM được sử dụng trong bài báo là định nghĩa tiêu chuẩn về TM được sử dụng trong các bài báo trên các máy Turing phổ dụng nhỏ:

... Họ có một cuộn băng một chiều duy nhất vô hạn theo cả hai hướng, và một đầu đọc hai chiều độc đáo. Có một ký hiệu trống được ký hiệu bằng 0. Ban đầu, một từ hữu hạn, đầu vào, được ghi trên băng, các ô khác chứa ký hiệu trống, đầu đọc ký hiệu ngoài cùng bên trái của đầu vào và trạng thái là trạng thái ban đầu. Ở mỗi bước, theo trạng thái hiện tại của máy và ký hiệu được đọc bởi đầu, ký hiệu được sửa đổi, đầu di chuyển sang trái hoặc phải (và không thể đọc cùng một ô) và trạng thái được sửa đổi. Việc tính toán dừng lại khi đạt đến trạng thái dừng đặc biệt. ...

Cũng có thể đạt được tính phổ quát với 7 trạng thái và 2 biểu tượng, mặc dù nhiều phản đối tương tự được áp dụng (điều kiện ban đầu không đồng nhất trên băng vô hạn và điều kiện chấm dứt bất thường). Xem http://11011110.livejournal.com/104656.html và http://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.html

Những điều này dựa trên việc mô phỏng thiết bị tự động di động Quy tắc 110, được chứng minh là phổ biến bởi Matthew Cook, và Cook cũng tìm thấy một mô phỏng 5 ký hiệu 5 trạng thái của Quy tắc 110, nếu bạn được kết hợp với giới hạn chỉ có hai trạng thái.

$S$$0\leq s < S$$C$$0\leq c< C$$2$$\text{L}$$\text{R}$$C+4SC$

Tại mọi thời điểm, chỉ có ô hiện tại hoặc hai ô liên quan đến quá trình chuyển đổi có thể có màu tăng cường: tất cả các ô khác có màu thật của chúng. Chúng tôi muốn máy của chúng tôi hoạt động như sau: kiểm tra xem quá trình chuyển đổi thực sự sẽ thực hiện, di chuyển thông tin "trạng thái thực" từ ô mà chúng tôi muốn để đến ô đích (điều này bao gồm rất nhiều lần qua lại), dọn sạch ô chúng ta để lại (cho nó một màu thật), lặp lại.

$(c,s)$$\text{L}$$\text{R}$$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$$\text{L}$

$c$$\text{L}$$c$$(c,0, \text{L},\text{receive})$$\text{R}$

Dưới đây là các chuyển đổi để thực hiện điều đó. Trong hầu hết các trường hợp, di chuyển theo hướng được chỉ định bởi trạng thái hiện tại, sau đó lật trạng thái

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$$\langle dir\rangle$

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$$s>0$

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$$\langle dir\rangle$

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$$\langle dir\rangle$

$C+3SC$

trừ khi bạn cẩn thận định nghĩa "không gây tranh cãi" theo một số cách kỹ thuật không phải là một câu trả lời chính xác. Đây là một cỗ máy nhỏ khác dựa trên quy tắc 110 tỏ ra phổ biến theo nghĩa nhưng tôi hiểu là nó đòi hỏi các công thức băng đầu vào định kỳ vô hạn (và trích xuất tương tự ở cuối khi máy dừng). havent đã thấy vấn đề băng "định kỳ và không định kỳ" được mô tả trong tài liệu mặc dù nó đã được thảo luận về ví dụ như danh sách gửi thư toán học [Cơ sở của danh sách gửi thư Toán học]

Bằng chứng Turing-phổ quát của Alex Smith về máy Turing 2 trạng thái, 3 biểu tượng được phỏng đoán của Wolfram chắc chắn không gây tranh cãi. Bằng chứng phổ quát nhất định (không phải máy) yêu cầu một mẫu vô hạn trên băng Turing, và câu hỏi đặt ra là liệu người ta có nên cho phép các cấu hình như vậy không (bạn có thể nghĩ băng thường 'trống' là một mẫu lặp đi lặp lại vô hạn của các ký hiệu trống). Kết luận là miễn là cấu hình trên băng máy được cố định (nghĩa là nó không thay đổi sau khi tính toán của bạn bắt đầu và giữ nguyên cho bất kỳ tính toán nào), thì việc tính toán phổ quát được thực hiện bởi máy Turing. Lưu ý rằng điều này KHÔNG gây tranh cãi đối với quy tắc tự động tế bào cơ bản 110 của Wolfram mà Wolfram và Cook đã chứng minh là phổ quát. Bằng chứng phổ quát của quy tắc 110 cũng yêu cầu một mẫu vô hạn trên cấu hình ban đầu, một mẫu khác nhau ở cả hai mặt, và do đó, nó có cùng bản chất cho máy Turing 2 trạng thái, 3 ký hiệu. Một mối quan tâm khác là có lẽ việc nới lỏng yêu cầu điều kiện ban đầu (trống) sẽ khiến một số máy tự động phổ quát không Turing được chấp nhận, như trạng thái hữu hạn, giới hạn tuyến tính hoặc đẩy xuống automata để đề cập đến một số ví dụ, nhưng nó không và nó tôn trọng hệ thống phân cấp Chomsky. Vì vậy, chắc chắn không có gì bàn cãi liệu máy Turing 2 trạng thái, 3 ký hiệu có phổ biến hay không, nhưng bằng chứng phổ quát của nó đã yêu cầu một biến thể của những gì thường được coi là các cotent của băng máy Turing thông thường. Nhân tiện, điều này không ngụ ý rằng 2 trạng thái,