Loại bỏ đệ quy - một cái nhìn vào lý thuyết đằng sau hậu trường

Tôi mới đến trang web này và câu hỏi này chắc chắn không phải là cấp độ nghiên cứu - nhưng tốt. Tôi có một chút nền tảng về công nghệ phần mềm và hầu như không có gì ở CSTheory, nhưng tôi thấy nó hấp dẫn. Để làm cho một câu chuyện dài ngắn, tôi muốn có một câu trả lời chi tiết hơn cho câu hỏi sau nếu câu hỏi này được chấp nhận trên trang web này.

Vì vậy, tôi biết rằng mọi chương trình đệ quy đều có một phép lặp tương tự và tôi hiểu được cách giải thích phổ biến được cung cấp cho nó bằng cách duy trì một cái gì đó tương tự như "ngăn xếp hệ thống" và đẩy các cài đặt môi trường như địa chỉ trả về, v.v. .

Cụ thể hơn một chút, tôi muốn (chính thức) xem làm thế nào để chứng minh tuyên bố này trong trường hợp bạn có chức năng gọi chuỗi . Hơn nữa, những gì nếu có một số báo cáo có điều kiện mà có thể dẫn một làm cho một cuộc gọi đến một số ? Đó là, biểu đồ gọi hàm tiềm năng có một số thành phần được kết nối mạnh mẽ.F $F_0 \rightarrow F_1 \ldots F_i \rightarrow F_{i+1} \ldots F_n \rightarrow F_0$$F_i$$F_j$

Tôi muốn biết làm thế nào những tình huống này có thể được xử lý bằng cách cho chúng tôi nói một số đệ quy để chuyển đổi lặp. Và là mô tả bằng tay tôi đã đề cập trước đó, thực sự đủ cho vấn đề này? Ý tôi là tại sao tôi lại thấy việc loại bỏ đệ quy trong một số trường hợp dễ dàng. Đặc biệt loại bỏ đệ quy khỏi giao dịch đặt hàng trước của cây nhị phân thực sự dễ dàng - đó là một câu hỏi phỏng vấn tiêu chuẩn nhưng loại bỏ đệ quy trong trường hợp đặt hàng bài luôn là một cơn ác mộng đối với tôi.

Điều tôi thực sự hỏi là câu hỏi$2$

(1) Có thực sự có một bằng chứng chính thức (thuyết phục hơn không?) Rằng đệ quy có thể được chuyển đổi thành phép lặp?

(2) Nếu lý thuyết này thực sự nằm ngoài đó, thì tại sao tôi lại tìm thấy nó, ví dụ, lặp đi lặp lại việc đặt hàng trước dễ dàng hơn và đặt hàng rất khó? (khác với trí thông minh hạn chế của tôi)

Nếu tôi hiểu chính xác, bạn rõ ràng về việc chuyển đổi các hàm không chứa các lệnh gọi hàm nào khác ngoài chính chúng.

Vì vậy, giả sử chúng ta có một "chuỗi gọi là" . Nếu chúng ta hơn nữa cho rằng không đệ quy mình (bởi vì chúng tôi đã chuyển đổi chúng đã được), chúng ta có thể nội tuyến tất cả những cuộc gọi vào định nghĩa của mà thusly trở thành một chức năng trực tiếp đệ quy, chúng tôi đã có thể đối phó với.F 1 , ... , F n$F \to F_1 \to \dots \to F_n \to F$$F_1, \dots, F_n$$F$

Điều này không thành công nếu một số có chuỗi cuộc gọi đệ quy trong đó xảy ra, tức là . Trong trường hợp này, chúng tôi có đệ quy lẫn nhau đòi hỏi một thủ thuật khác để thoát khỏi. Ý tưởng là tính toán đồng thời cả hai chức năng. Ví dụ, trong trường hợp tầm thường: F F j → ⋯ → F → ⋯ → F $F_j$$F$$F_j \to \dots \to F \to \dots \to F_j$

f(0) = a
f(n) = f'(g(n-1))

g(0) = b
g(n) = g'(f(n-1))

với f'và g'các hàm không đệ quy (hoặc ít nhất là độc lập với fvà g) trở thành

h(0) = (a,b)
h(n) = let (f,g) = h(n-1) in (f'(g), g'(f)) end

f(n) = let (f, _) = h(n) in f end
g(n) = let (_, g) = h(n) in g end

Điều này tự nhiên mở rộng đến nhiều chức năng liên quan và chức năng phức tạp hơn.

Vâng, có những lý do thuyết phục để tin rằng đệ quy có thể được chuyển thành lặp đi lặp lại. Đây là những gì mọi trình biên dịch làm khi dịch mã nguồn sang ngôn ngữ máy. Đối với lý thuyết, bạn nên làm theo đề xuất của Dave Clarke. Nếu bạn muốn xem mã thực tế chuyển đổi đệ quy thành mã không đệ quy, hãy xem machine.mlngôn ngữ MiniML trong Sở thú PL của tôi (lưu ý rằng loophàm ở phía dưới, thực sự chạy mã, là đệ quy đuôi và vì vậy nó có thể được chuyển đổi tầm thường thành một vòng lặp thực tế).

Một điều nữa. MiniML không hỗ trợ các chức năng đệ quy lẫn nhau. Nhưng đây không phải là một vấn đề. Nếu bạn có đệ quy lẫn nhau giữa các chức năng

f 2 : Một 2 → B 2 ⋮ f n : Một n → B

đệ quy có thể được thể hiện dưới dạng bản đồ đệ quy đơn

Bạn có thể muốn nhìn vào máy SECD . Một ngôn ngữ chức năng (mặc dù có thể là bất kỳ ngôn ngữ nào) được dịch thành một chuỗi các hướng dẫn quản lý những thứ như đặt các đối số của ngăn xếp, "gọi" các hàm mới, v.v., tất cả được quản lý bởi một vòng lặp đơn giản.
Các cuộc gọi đệ quy không bao giờ thực sự được gọi. Thay vào đó, các hướng dẫn của phần thân của hàm được gọi được đặt trên ngăn xếp để chạy.

Một cách tiếp cận liên quan là máy CEK .

Cả hai đã có từ lâu, vì vậy có rất nhiều công việc trên đó. Và tất nhiên, có bằng chứng cho thấy chúng hoạt động và quy trình "biên dịch" chương trình thành các hướng dẫn của SECD là tuyến tính theo kích thước của chương trình (không cần phải nghĩ về chương trình).

Quan điểm của câu trả lời của tôi là có một quy trình tự động để làm những gì bạn muốn. Thật không may, việc chuyển đổi sẽ không nhất thiết là về những điều mà lập trình viên dễ dàng giải thích ngay lập tức. Tôi nghĩ điều quan trọng là khi bạn muốn lặp lại một chương trình, bạn cần lưu trữ trên ngăn xếp những gì chương trình cần làm khi bạn quay lại từ một lệnh gọi hàm lặp (điều này được gọi là tiếp tục). Đối với một số chức năng (chẳng hạn như các hàm đệ quy đuôi), việc tiếp tục là không đáng kể. Đối với những người khác, việc tiếp tục có thể rất phức tạp, đặc biệt nếu bạn phải tự mã hóa nó.

Q : "Có thực sự có một bằng chứng chính thức (thuyết phục hơn không?) Rằng đệ quy có thể được chuyển đổi thành phép lặp?"

A : Tính đầy đủ của Turing của Máy Turing :-)

Nói đùa, mô hình máy chương trình lưu trữ truy cập ngẫu nhiên (RASP) tương đương Turing gần với cách thức hoạt động của bộ vi xử lý thực và tập lệnh của nó chỉ chứa một bước nhảy có điều kiện (không có đệ quy). Khả năng tự sửa đổi mã tự động làm cho nhiệm vụ thực hiện chương trình con và các cuộc gọi đệ quy dễ dàng hơn.

Tôi nghĩ rằng bạn có thể tìm thấy nhiều bài báo / bài viết về " chuyển đổi đệ quy " (xem câu trả lời của Dave hoặc chỉ Google từ khóa), nhưng có lẽ cách tiếp cận ít được biết đến (và thực tế ) là nghiên cứu mới nhất về triển khai phần cứng của thuật toán đệ quy ( sử dụng ngôn ngữ VHDL được "biên dịch" trực tiếp thành một phần cứng). Ví dụ, xem bài viết " Thực hiện thuật toán đệ quy dựa trên nền tảng " của V.Sklyarov ( Bài báo cho thấy một phương pháp mới để thực hiện các thuật toán đệ quy trong phần cứng. .... Hai ứng dụng thực tế của thuật toán đệ quy trong vùng sắp xếp và nén dữ liệu đã được nghiên cứu chi tiết .... ).

Nếu bạn quen thuộc với các ngôn ngữ hỗ trợ lambdas thì một con đường là xem xét chuyển đổi CPS. Loại bỏ việc sử dụng ngăn xếp cuộc gọi (và đặc biệt là đệ quy) là chính xác những gì chuyển đổi CPS thực hiện. Nó biến đổi một chương trình chứa các lệnh gọi thủ tục thành một chương trình chỉ có các lệnh gọi đuôi (bạn có thể nghĩ chúng là các gotos, là một cấu trúc lặp).

Chuyển đổi CPS có liên quan chặt chẽ đến việc giữ rõ ràng một ngăn xếp cuộc gọi trong ngăn xếp dựa trên mảng truyền thống, nhưng thay vì trong một mảng, ngăn xếp cuộc gọi được biểu diễn bằng các bao đóng được liên kết.

theo ý kiến ​​của tôi, câu hỏi này quay trở lại nguồn gốc của các định nghĩa tính toán và từ lâu đã được chứng minh nghiêm ngặt vào khoảng thời gian đó khi tính toán lambda của nhà thờ (vốn rất nắm bắt khái niệm đệ quy) được chứng minh là tương đương với máy Turing, và được chứa trong thuật ngữ vẫn được sử dụng "ngôn ngữ / hàm đệ quy". cũng có vẻ như một ref chính sau này dọc theo các dòng này như sau

Như được chỉ ra bởi bài viết năm 1969 của Peter Landin Một sự tương ứng giữa ALGOL 60 và ký hiệu Lambda của Church, các ngôn ngữ lập trình thủ tục tuần tự có thể được hiểu theo thuật toán lambda, cung cấp các cơ chế cơ bản cho ứng dụng trừu tượng hóa và thủ tục (chương trình con).

phần lớn bkd về điều này là trong trang wikipedia luận án nhà thờ này . không chắc chắn về các chi tiết cụ thể chính xác nhưng bài báo trên wikipedia dường như chỉ ra rằng đó là Rosser (1939), người đầu tiên đã chứng minh sự tương đương này giữa máy tính lambda và máy turing. có lẽ / có lẽ giấy của anh ta có một cơ chế giống như chồng để chuyển đổi các cuộc gọi lambda (có thể đệ quy) sang việc xây dựng tm?

Rosser, JB (1939). "Một triển lãm không chính thức về bằng chứng của Định lý Godel và Định lý của Giáo hội". Tạp chí Logic tượng trưng (Tạp chí Logic tượng trưng, ​​Tập 4, Số 2) 4 (2): 53 Điên60. doi: 10.2307 / 2269059. JSTOR 2269059.

lưu ý tất nhiên cho bất cứ ai quan tâm đến các nguyên tắc hiện đại ngôn ngữ Lisp và các biến thể Đề án cố ý có một sự tương đồng mạnh đến giải tích lambda. nghiên cứu mã trình thông dịch để đánh giá biểu thức dẫn đến các ý tưởng ban đầu được chứa trong các bài báo về tính hoàn chỉnh của tính toán lambda.