Cây thông và đóng gói

9

Câu hỏi của tôi hơi mơ hồ. Tôi đã tự hỏi nếu (và làm thế nào), chúng ta có thể áp dụng khái niệm treewidth cho các vấn đề đóng gói trong biểu đồ.

Tôi sẽ hài lòng với bất kỳ hiểu biết hoặc tài liệu tham khảo của công việc nghiên cứu trong quá khứ về điều này (giả sử chúng là một số quan hệ). Cảm ơn.

— Nikhil
nguồn

11

Tôi có thể diễn giải câu hỏi này theo hai cách khác nhau:

1) Khi nói đến tính chất thuật toán của bao bì các vấn đề về đồ thị của treewidth bị chặn, Định lý chương trình Courcelle rằng cho mọi cố định chúng ta có thể tối ưu giải quyết vấn đề có thể biểu trong monadic Thứ hai theo thứ tự logic trong thời gian tuyến tính trên đồ thị của treewidth tại hầu hết (xem ví dụ http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037 $k$ $k$ cho một cuộc khảo sát về các tính chất thuật toán của đồ thị giới hạn treewidth). Vì nhiều vấn đề về đóng gói có thể được hình thành trong MSOL, điều này chứng tỏ khả năng biến đổi của nhiều vấn đề như vậy trên đồ thị của treewidth bị ràng buộc, bao gồm Bộ độc lập, Đóng gói tam giác, Đóng gói theo chu kỳ, đóng gói các bản sao tách rời đỉnh / cạnh của bất kỳ đồ thị cố định nào, đóng gói các mô hình phụ tách rời của một số đồ thị cố định H, v.v. Nhưng vì tính dễ điều khiển này mở rộng cho tất cả các vấn đề có thể xác định được của MSOL, nên nó không đặc trưng cho việc đóng gói.

2) Khi nói đến mối quan hệ cấu trúc đồ thị giữa bao bì và treewidth, những điều sau đây có thể được quan tâm. Nhờ vào công việc của Robertson và Seymour, người ta biết rằng có một hàm sao cho mọi đồ thị của treewidth ít nhất có thể được đóng gói vào một lưới nhỏ , sau đó bạn biết rằng bất kỳ đồ thị của treewidth lớn chứa một bao bì lớn các bản sao của . Ví dụ, như một lưới (cho dù ) chứa $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $f(r)$ lưới như trẻ vị thành niên (bản gốc bị ràng buộc đối do Seymour và Robertson sau đó đã được cải thiện với sự hợp tác của Thomas, xemhttp://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S0095895684710732để biết ràng buộc tốt nhất hiện tại). Do đó, nếu bạn có cấu trúc sao cho nhiều bản sao của $r \times r$ $f$ $S$ $S$ $r \times r$ $S$ $r \times r$ $r$ $(r/2)^2$ các chu kỳ phân tách đỉnh, theo đó là một biểu đồ của treewidth $f(r)$ có chứa ít nhất chu kỳ rời nhau. $(r/2)^2$

— Bart Jansen
nguồn

Bart Có thể điều này không liên quan, nhưng bạn có thấy bất kỳ mối quan hệ nào giữa việc tái tạo đồ thị và chiều rộng cây của chúng không? Ngoài ra, bạn có liên kết đến phiên bản miễn phí của giấy prof của bạn? (Tối ưu hóa kết hợp trên đồ thị của băng thông bị ràng buộc)

— Saeed

Bài báo treewidth có sẵn tại Citeseer citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.2561 . Đối với việc xây dựng lại biểu đồ: bạn có nghĩa là quá trình trong đó, đưa ra nhiều biểu đồ của tất cả các sơ đồ con thu được bằng cách xóa một đỉnh đơn, bạn muốn xây dựng lại biểu đồ ban đầu? Dường như Shiva Kintali gần đây đã xem xét câu hỏi liệu phỏng đoán tái cấu trúc đồ thị có đúng với treewidth hai: cstheory.stackexchange.com/questions/5155/ hay không .

— Bart Jansen

Cảm ơn bart, vâng tôi thấy câu hỏi của Shiva, nhưng, Đó là một năm trước, có thể có bất kỳ kết quả mới, cảm ơn tất cả.

— Saeed

Trang web của Shiva liệt kê hai bản thảo về chủ đề này, "Về việc Tái cấu trúc cây k và cây biểu đồ thông thường" và "Thuộc tính đồ thị tái tạo mới" với ghi chú "pdf sắp ra mắt" ( cs.princeton.edu/~kintali/#proprecon ). Bạn có thể liên hệ trực tiếp với anh ấy để hỏi về tình trạng hiện tại của nghệ thuật.

— Bart Jansen

Tiếp theo câu trả lời này, ràng buộc tốt nhất cho treewidth cần thiết để đảm bảo một mạng lưới nhỏ

được cải thiện bởi Kawarabayashi và Kobayashi thành

trong dx.doi.org/10.4230/LIPIcs.STACS.2012.278 , và Seymour đã tuyên bố cải thiện thành

vào tháng 8 năm 2012.

r \times r

$r \times r$

2^{O (r^{2} \log r)}

$2^{O(r^2\log r)}$

2^{O (r \log r)}

$2^{O(r \log r)}$

— András Salamon

7

Vấn đề thiết lập độc lập tối đa là một vấn đề đóng gói (bạn có thể nghĩ đó là vấn đề đóng gói sao) và nó có một thuật toán nổi tiếng với thời gian chạy trong đồ thị với treewidth nhiều nhất là . $2^k \operatorname{poly(n)}$ $k$

— Janne H. Korhonen
nguồn

Cảm ơn Janne đã trả lời của bạn. Tôi biết về thuật toán MIS. Ngoài MIS, khái niệm treewidth có được áp dụng để đóng gói các cấu trúc khác không? Ngoài ra, tôi không hoàn toàn bị thuyết phục khi nghĩ về MIS như là sự đóng gói của các ngôi sao rời rạc, bạn có thể giải thích quan điểm của mình về vấn đề này không? (cấu trúc ngôi sao nào bạn đang cố gắng đóng gói, khái niệm "ngôi sao rời rạc" là gì)?

— Nikhil

1

Nó không hoàn toàn đơn giản như tôi nghĩ khi đăng câu trả lời. "Đóng gói các ngôi sao tách rời" sẽ phù hợp hơn, và sau đó bạn phải yêu cầu bất kỳ ngôi sao nào được đặt có mức độ lớn nhất có thể. Tôi không nhớ đã thấy treewidth áp dụng cho bất kỳ vấn đề đóng gói phức tạp nào.

— Janne H. Korhonen

1

Tập độc lập tối đa chắc chắn là một "vấn đề đóng gói" theo thuật ngữ thông thường; một ví dụ khác về một vấn đề đóng gói là kết hợp tối đa. (Họ đang đóng gói các chương trình số nguyên; thư giãn LP là LP đóng gói.)

— Jukka Suomela

6

Một tài liệu tham khảo tuyệt vời về chủ đề này là bài viết khảo sát của Bruce Reed dưới đây.

Sậy, B. (1997). Chiều rộng cây và rối: Một biện pháp kết nối mới và một số ứng dụng. Khảo sát trong tổ hợp, 241, 87-162.

Một trong những bài báo gần đây của tôi cho phép một người bỏ qua định lý lưới nhỏ trong một số trường hợp thông qua các định lý phân rã treewidth. Xem giấy bên dưới.

Các ứng dụng và phân rã đồ thị băng thông lớn http://arxiv.org/abs/1304.1577

— Chandra Chekuri
nguồn

5

Đây cũng là một câu trả lời mơ hồ. Có một tính hai mặt tương tự như định lý Erdos-Posa cho các đồ thị của treewidth giới hạn. Xem, ví dụ Fedor V. Fomin, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos: Tăng cường tài sản Erdös-Pósa cho các lớp đồ thị đóng nhỏ. Tạp chí lý thuyết đồ thị 66 (3): 235-240 (2011)

— R2-D2
nguồn