Thuộc tính đóng cửa không CFL

Tôi đã được một học sinh hỏi sau đây và không thể đưa ra câu trả lời hoàn chỉnh:

Có thuộc tính đóng nào cho lớp ngôn ngữ không có ngữ cảnh không?

Thật dễ dàng để tìm thấy các ví dụ cho thấy rằng nó không bị đóng dưới giao lộ và lặp (toán tử sao Kleene), nhưng làm thế nào về liên kết và nối? Tôi đoán là nó cũng không bị đóng cửa, vì vậy trừ khi tôi rời đi, những gì tôi đang tìm kiếm là ví dụ cho hai phi CFL rằng liên minh hoặc ghép của họ là CFL.

fl.formal-languages context-free-languages

— Shir
nguồn

Liên minh có các mẫu đối trọng tầm thường vì có những ngôn ngữ không thể giải quyết được. Bất kỳ ngôn ngữ như vậy với bổ sung của nó hoạt động.

— Raphael

Học sinh của tôi chưa quen với khái niệm không ổn định.

— Shir

Bạn không cần không thể giải quyết được, bạn chỉ cần ngôn ngữ cũng như phần bổ sung của nó không phải là CFL.

— Emil Jeřábek

Sự kết hợp cũng có các phản ứng tầm thường: lấy bất kỳ hai ngôn ngữ không ngữ cảnh L1 và L2 có liên kết là Σ * và thêm chuỗi trống vào cả L1 và L2.

— Tsuyoshi Ito

Giao lộ rất dễ dàng, lấy hai ngôn ngữ tách rời từ , ví dụ và . Liên minh dễ dàng tương tự, lấy hai ngôn ngữ có liên kết là , và .

\bar{C F L}

$\bar{CFL}$

{0 w : w \in L_{1}}

$\{0w : w \in L_1\}$

{1 w : w \in L_{1}}

$\{1w : w \in L_1\}$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

{0 w : w \in L_{1}} \cup {1 w : w \in Σ^{*}}

$\{0w : w \in L_1\} \cup \{1w : w \in \Sigma^*\}$

{1 w : w \in L_{1}} \cup {0 w : w \in Σ^{*}}

$\{1w : w \in L_1\} \cup \{0w : w \in \Sigma^*\}$

— Kaveh

Có lẽ có ít hoặc không có thuộc tính đóng "thú vị" và "tự nhiên" cho lớp ngôn ngữ không có ngữ cảnh. Trong thực tế, điều đó có thể đúng với:

bất kỳ lớp ngôn ngữ nào được xác định bởi một mô hình tự động, ngữ pháp hoặc mô hình tính toán cụ thể - các ngôn ngữ thông thường, cfl, các lớp con khác nhau của các cfl như ngôn ngữ tuyến tính và cfl's xác định, ngôn ngữ nhạy cảm ngữ cảnh, ngôn ngữ giới hạn và ngôn ngữ giới hạn Sớm.
các lớp thực sự được xác định bởi các thuộc tính đóng, như nhóm ít nhất chứa, giả sử, { } và đóng dưới các hoạt động và tải nạp thông thường. Trên thực tế, lý thuyết AFL là tất cả về những thứ như thế. $a^n b^n$

Lý do là nhiều nếu không phải hầu hết hoặc tất cả các thuộc tính đóng "thú vị" có khả năng đơn giản hóa mạnh mẽ một ngôn ngữ, ví dụ như ánh xạ nó xuống các tập hữu hạn hoặc một cái gì đó đơn giản không kém. Ví dụ: bạn luôn có thể áp dụng phép đồng hình không đổi (h (a) = 0) cho ngôn ngữ không ngữ cảnh và có được ngôn ngữ của tất cả các chuỗi số không, không có ngữ cảnh (thực tế là thông thường). Vì vậy, nếu định nghĩa của lớp đòi hỏi nó không "đơn giản" (như không có ngữ cảnh), thì việc đóng sẽ đưa bạn xuống các ngôn ngữ "đơn giản", nghĩa là bên ngoài lớp.

Điều này thực sự có thể tạo ra một dự án nghiên cứu thú vị, một phần trong đó, tôi sẽ mạo hiểm đoán, sẽ là định nghĩa "đơn giản", "thú vị" và "tự nhiên" theo một cách phù hợp, và cũng để tìm ra những cách thức chính thức để đối phó với tầm thường và trường hợp thoái hóa như người tôi đã cho.

Các hoạt động liên hiệp và kết nối sẽ là một thử nghiệm của lý thuyết như vậy. Tôi sẽ phỏng đoán rằng có hai non-cfl nối liền với và những cái khác hợp nhất với nó. Tôi sẽ bắt đầu với non-cfl qua một chữ cái, vì vậy bạn thực sự đang nói về lý thuyết số và đại số tuyến tính. $\Sigma^*$

Adendum - đây là hai ngôn ngữ chắc chắn nối với và gần như chắc chắn không có ngữ cảnh: $a^*$

$\{a^{n-i}:i = \lfloor \sqrt n \rfloor\}$

$\{a^{n+i}:i = \lfloor \sqrt n \rfloor\}$

Nếu vì một lý do nào đó, những người đó tắt CF, hãy sử dụng một hàm thậm chí xa lạ hơn $\sqrt x$

— David Lewis
nguồn

Tôi thích câu trả lời này.

— Suresh Venkat