Kết quả đẹp trong TCS

Gần đây, một người bạn của tôi (làm việc tại TCS) đã đề cập trong một cuộc trò chuyện rằng "anh ấy muốn nhìn thấy / biết tất cả (hoặc càng nhiều càng tốt) về kết quả đẹp trong TCS trong đời mình". Kiểu này khiến tôi tự hỏi về kết quả đẹp trong lĩnh vực này và do đó động lực cho câu hỏi sau:

Theo bạn, kết quả nào (hoặc ý tưởng) là đẹp trong khoa học máy tính lý thuyết? Sẽ thật tuyệt nếu bạn đề cập đến lý do là tốt. [Cũng sẽ ổn ngay cả khi các ý tưởng bắt nguồn từ toán học, nhưng đã gây hứng thú và tìm thấy các ứng dụng trong TCS]

Tôi sẽ bắt đầu với một câu trả lời là đối số đường chéo của Cantor bởi vì nó đơn giản, thanh lịch và là một kết quả mạnh mẽ.

Tính không ổn định của vấn đề tạm dừng.

Đẹp vì nhiều lý do. Đó là một kết quả không thể. Bằng chứng sử dụng đường chéo. Tuyên bố áp dụng cho một loạt các mô hình tính toán. Nó có thể được xây dựng theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt, sử dụng các ngôn ngữ lập trình tiêu chuẩn. Đó là một kết quả đầu nguồn trong lịch sử điện toán. Mở rộng tuyên bố này dẫn đến Định lý Rice, độ Turing và nhiều kết quả tuyệt vời khác. V.v ...

Theo tôi, thư từ Curry-Howard là một trong những kết quả lý thuyết đẹp nhất, và là thứ thúc đẩy tôi thực hiện nghiên cứu.

Ý tưởng rằng hai hệ thống, chương trình một mặt và mặt khác là bằng chứng có cùng cấu trúc, gần như có bản chất triết học: có một số "mô hình lý luận" chung chung?

Khả năng của mật mã khóa công khai, ví dụ, sơ đồ trao đổi khóa Diffie-Hellman.

Nó phá vỡ định kiến ​​rất mạnh mẽ mà mọi người phải gặp trước khi trao đổi bí mật trên một kênh không an toàn.

Tôi đã và vẫn còn ngạc nhiên bởi thuật toán của Euclid. Đối với tôi, nó là một minh chứng cho sức mạnh của suy nghĩ của con người - rằng mọi người có thể hình dung ra một thuật toán sớm như vậy (khoảng 300 trước Công nguyên nếu tôi tin tưởng vào trí nhớ của mình).

Chuyển tiếp nhanh, có tư duy làm tê liệt tài liệu về chủ đề này. Tôi nghĩ rằng danh sách của Scott Aaronson sẽ hữu ích trong vấn đề này - mặc dù, như chính Aaronson nói rằng nó không đầy đủ (và không hoàn toàn trên lý thuyết)

Kỹ thuật của Yao sử dụng Định lý Minmax của von Neumann để chứng minh giới hạn thấp hơn cho Thuật toán ngẫu nhiên. Tôi tìm thấy nó như một cái gì đó ra khỏi thế giới này.

Phương pháp xác suất để chứng minh sự tồn tại của các đối tượng mà chúng ta thấy khó xây dựng bao gồm Bổ đề địa phương Lovasz. Những kỹ thuật này rất đơn giản, nhưng rất mạnh mẽ.

Các công trình lý thuyết mã hóa của Madhu Sudan sử dụng đa thức.

Các trình mở rộng (điều này bắt đầu dưới dạng biểu đồ Ramanujan) và Trình trích xuất và các ứng dụng của chúng trong Pseudorandomness.

Thuật toán biến đổi Fourier nhanh của Cooley và Tukey để tìm DFT. (Mặc dù, theo giả định của Tukey, đây là một phát hiện lại về một kỹ thuật nổi tiếng, ít nhất là được biết đến với Gauss!)

Định lý Barrington, (một kết quả rất đáng ngạc nhiên vào thời của nó)

Định lý lặp lại song song (mặc dù kết quả là tốt, bằng chứng không dễ)

Hàm Lovasz Theta để ước tính dung lượng shannon của đồ thị.

Thuật toán Ellipsoid cho thấy LP ở P, khiến nhiều người ngạc nhiên khi nhiều người vẫn nghi ngờ nó có thể là NP-Complete.

đáng ngạc nhiên là một trong những câu trả lời rõ ràng nhất chưa được thêm vào. đôi khi một người làm việc quá nhiều với một cái gì đó để nhìn thấy nó một cách vô tư. các lý thuyết về NP đầy đủ đưa ra bởi Cook / Levin và ngay lập tức khuếch đại bởi Karp đã cho một dấu hiệu sớm của ubiquitousness của nó, ngay cả lời tiên tri hơn khi nhìn lại. theo nhiều cách, đây là sự ra đời của lý thuyết phức tạp và hiện đại của TCS, và câu hỏi cốt lõi / quan trọng / khét tiếng của nó P =? NP vẫn mở sau bốn thập kỷ nghiên cứu / tấn công dữ dội. P =? NP có giải thưởng Claymath $ 1M cho giải pháp của mình.

bằng chứng Cook đã giới thiệu NDTM dường như hoàn toàn không phải là sự tò mò về mặt lý thuyết mà là một phần gần như cực kỳ cơ bản của TCS. hạ thủy một ngàn tàu, có thể nói như vậy. hơn nữa, nó liên tục chống lại / thách thức những nỗ lực thông qua một trong những kỹ thuật TCS quan trọng / mạnh mẽ khác được đề cập trong danh sách này, đường chéo, được thấy trong ví dụ kết quả BGS-75 Oracle / Relativization-- cho thấy rằng phải có một cái gì đó kỳ lạ và khác biệt về bất kỳ điều gì có thể giải pháp, cũng được đề xuất / mở rộng thêm bằng giấy Razborov-Rudich Natural Proofs (giải thưởng Godel 2007).

có rất nhiều, rất nhiều lượt giới thiệu trên subj nhưng một lần gần đây với một số tài khoản 1 của lịch sử có thể được tìm thấy trong Câu hỏi P =? NP và lá thư bị mất của Godel bởi RJ Lipton

Kolmogorov Độ phức tạp và phương pháp không thể nén .

Phương pháp không thể nén được - dựa trên độ phức tạp Kolmogorov - đã cung cấp một cách thức mới và trực quan để đưa ra bằng chứng. Trong một bằng chứng điển hình sử dụng phương pháp không thể nén, trước tiên người ta chọn một đối tượng không thể nén được từ lớp đang thảo luận. Đối số luôn luôn nói rằng nếu một thuộc tính mong muốn không giữ, thì ngược lại với giả định, đối tượng có thể được nén và điều này dẫn đến mâu thuẫn cần thiết.

Xem ví dụ bằng chứng rằng có vô số số nguyên tố, bằng chứng thay thế cho định lý không hoàn chỉnh của Godel hoặc các mối liên hệ giữa Độ phức tạp Kolmogorov và Độ phức tạp tính toán , ....

Tôi đã (và vẫn còn) ngạc nhiên với Định lý đệ quy thứ hai của Kleene . Nhìn bề ngoài, nó có vẻ đơn giản và không hữu ích lắm nhưng sau đó tôi phát hiện ra nó sâu sắc cả về mặt toán học và triết học.

Khi tôi cũng đọc về biến thể đã được chứng minh trên Turing Machines (nói rất chính thức rằng máy móc có thể có được mô tả của riêng họ hoặc tương đương rằng có những máy tạo ra mô tả của riêng họ, giống như một chương trình tự in ..), tôi cảm thấy não mình bị xoắn quá khó khăn, nhưng hấp dẫn hơn bao giờ hết Sau đó, bạn thấy cách định lý được sử dụng để đưa ra bằng chứng một dòng cho tính không ổn định của vấn đề tạm dừng và không thể nhận ra của các máy tối thiểu..v.v.

Các định lý mã hóa nguồn và kênh của Shannon.

Một định nghĩa toán học phân biệt giữa truyền, nhận và phương tiện và bỏ qua ngữ nghĩa của thông điệp là một bước tiến lớn. Entropy, trong bối cảnh dữ liệu là một khái niệm hữu ích tuyệt vời. Và bởi vì lý thuyết thông tin nên được biết đến nhiều hơn.

Một kết quả tuyệt vời dựa trên định lý PCP nói rằng nó rất khó tính toán (NP-hard) để đáp ứng hơn 7/8 mệnh đề của công thức 3SAT ngay cả đối với các điều khoản thỏa đáng.

thuật toán shors cho bao thanh toán trong BQP . theo ý kiến ​​/ trí nhớ của tôi, tính toán lượng tử không chỉ là sự tò mò về mặt lý thuyết cho đến khi kết quả này vào năm 1994, lúc đó dường như tài liệu và nghiên cứu về điện toán QM bùng nổ. nó vẫn được cho là một trong những thuật toán QM quan trọng nhất được biết đến. trao giải thưởng Gotdel 1999. nó cũng tiết lộ rằng bao thanh toán trong tính toán QM thực sự theo nghĩa được hiểu rõ hơn một chút so với điện toán cổ điển, ví dụ như câu hỏi liệu Bao thanh toán có hoàn chỉnh NP hay không vẫn còn mở.

đối với tôi, bài kiểm tra tính nguyên thủy của AKS P-time khá đẹp theo nhiều nghĩa khác nhau. một bước đột phá vào thời điểm đó, một trong những bước đột phá lớn nhưng khá hiếm thấy trong lý thuyết phức tạp trong cuộc sống của chúng ta. nó giải quyết một vấn đề có từ thời cổ đại Hy Lạp & liên quan đến một số thuật toán đầu tiên được phát minh (sàng của eratosthenes), tức là xác định các số nguyên tố một cách hiệu quả. đây là một bằng chứng mang tính xây dựng rằng việc phát hiện tính nguyên thủy nằm trong P trái ngược với nhiều bằng chứng tuyệt vời không may là không có tính xây dựng.

nó được kết nối với thuật toán mã hóa RSA được đề cập trong một câu trả lời khác bởi vì thuật toán đó cần nhanh chóng tìm ra các số nguyên tố lớn, trước thuật toán AKS, điều này chỉ có thể xảy ra. về cơ bản nó liên quan đến lý thuyết số & các vấn đề sâu sắc khác, ví dụ phỏng đoán Riemann, theo nhiều cách là lĩnh vực ban đầu của thuật toán.

trao giải thưởng Gôdel 2006 và Giải thưởng Fulkerson năm 2006

Tôi nghĩ rằng định lý đồ thị nhỏ của Robertson và Seymour là những lý thuyết tuyệt vời nhất tôi từng thấy (và đọc một phần nó). Trước hết, nó khá phức tạp, nhưng phỏng đoán cơ bản không khó và có thể mọi người làm việc trong TCS đều có thể đoán được. Nỗ lực cực độ của họ để chứng minh họ là tuyệt vời. Trong thực tế sau khi tôi đọc một số bài báo trong bộ đó tôi hiểu sức mạnh của tâm trí con người.

Ngoài ra định lý đồ thị nhỏ có tác động lớn đến các lĩnh vực khác nhau của TCS. Giống như lý thuyết đồ thị, thuật toán gần đúng, thuật toán tham số, logic, ...

Một trong những kết quả yêu thích của tôi là các vấn đề khác nhau có tính chất vô hạn là có thể quyết định được.

1. Lý thuyết thứ tự đầu tiên của các trường kín thực sự là có thể quyết định (bởi Tarski). Hình học Euclide cũng là một mô hình các tiên đề của các trường đóng thực, do đó, bởi Tarski, các câu lệnh thứ nhất trong mô hình này có thể quyết định được.
2. Số học Presburger là quyết định.
3. Lý thuyết thứ tự đầu tiên của các trường đóng đại số (bao gồm các số phức) là có thể quyết định.
4. Logic thứ tự đơn âm thứ hai trên các từ vô hạn (và hữu hạn) là có thể quyết định. Bằng chứng là thanh lịch và có thể được dạy cho sinh viên đại học.

Có rất nhiều kết quả đáng yêu về các thuật toán xác suất, rất đơn giản và là một bước tiến lớn trong cách chúng ta nghĩ về tính toán.

Thủ thuật của von Neumann để thực hiện một đồng tiền công bằng với một xu hướng thiên vị. Chúng ta đã quá quen với các thuật toán xác suất bây giờ, nhưng từ góc độ bên ngoài, điều này thật tuyệt vời. Cả thuật toán và bằng chứng đều có thể truy cập được đối với bất kỳ ai biết xác suất học trung học.

Kết quả của Tim Griffin kiểm soát các toán tử như call/cccó liên quan đến logic cổ điển, mở rộng sự tương ứng của Curry-Howard.

call/cc$E$$\neg\neg \tau$$\mathtt{call/cc}{(E)}$$\tau$$\neg\tau$$\tau\rightarrow\bot$$\tau$

Bài viết của ông , "Một khái niệm kiểm soát theo công thức", xuất hiện trong POPL 1990.

Yêu thích của tôi là thuật toán thời gian tuyến tính của Rabin để tính toán cặp điểm gần nhất trong mặt phẳng (hay chính xác hơn là đơn giản hóa nó). Nó vượt qua tầm quan trọng của mô hình tính toán, sức mạnh của các thuật toán ngẫu nhiên và một số cách thức thanh lịch để suy nghĩ về các thuật toán ngẫu nhiên.

Đây nói, CS vẫn còn xa mới đạt được mức độ sang trọng một cuộc gặp gỡ trong toán học (tốt, họ đã có 5000 năm đầu bắt đầu), từ các định nghĩa cơ bản / kết quả trong tính toán, cấu trúc liên kết (định lý điểm cố định), tổ hợp, hình học (Pythagore lý http : //en.wikipedia.org/wiki/File: Pythag_anim.gif ), v.v.

Nếu bạn tìm kiếm cái đẹp, hãy tìm nó ở khắp mọi nơi ...

Kết quả này có lẽ là một chút gần đây để đủ điều kiện là cơ bản, nhưng tôi tin rằng các giải thích kiểu-như-homotopy- đủ điều kiện. Khung nhìn này cho phép diễn giải các kiểu từ lý thuyết kiểu xây dựng thành các tập hợp với các thuộc tính hình học nhất định, trong trường hợp này là đồng luân .

Tôi thấy quan điểm này đặc biệt đẹp vì nó làm cho những quan sát phức tạp trước đây về lý thuyết loại trở nên đơn giản, ví dụ thực tế là "tiên đề K" không thể dẫn xuất được .

Tổng quan về lĩnh vực vừa chớm nở này của Steve Awodey có thể được tìm thấy ở đây .

Bằng chứng không kiến ​​thức là một khái niệm rất thú vị. Nó cho phép một thực thể, người hoạt động, chứng minh (với xác suất cao) cho một thực thể khác, người xác minh, rằng nó biết "một bí mật" (một giải pháp cho một số vấn đề NP, một căn bậc hai của một số, một số rời rạc nhật ký của một số số, v.v.) mà không đưa ra bất kỳ thông tin nào về bí mật (khó hiểu ngay từ cái nhìn đầu tiên, vì ý tưởng đầu tiên để chứng minh rằng bạn biết một bí mật là thực sự nói bí mật và rằng bất kỳ giao tiếp nào có thể dẫn đến người xác minh tin rằng bạn biết bí mật có thể một tiên nghiệm chỉ làm tăng kiến ​​thức của người xác minh về bí mật).