Subrange of a Red and Black Tree

Trong khi cố gắng sửa một lỗi trong thư viện, tôi đã tìm kiếm các bài báo về việc tìm kiếm các phần phụ trên cây đỏ và đen mà không thành công. Tôi đang xem xét một giải pháp sử dụng khóa kéo và một cái gì đó tương tự như thao tác chắp thêm thông thường được sử dụng trên các thuật toán xóa cho các cấu trúc dữ liệu bất biến, nhưng tôi vẫn tự hỏi liệu có cách tiếp cận nào tốt hơn mà tôi không thể tìm thấy, hoặc thậm chí một số ranh giới phức tạp tối thiểu trên một hoạt động như vậy?

Nói rõ hơn, tôi đang nói về một thuật toán, đưa ra một cây đỏ & đen và hai ranh giới, sẽ tạo ra một cây đỏ & đen mới với tất cả các yếu tố của cây đầu tiên thuộc về các ranh giới đó.

Tất nhiên, một giới hạn trên cho sự phức tạp sẽ là sự phức tạp của việc vượt qua một cây và xây dựng cây kia bằng cách thêm các phần tử.

Câu trả lời này kết hợp một số ý kiến ​​của tôi cho câu hỏi và mở rộng chúng.

Hoạt động phụ trên cây đỏ đen có thể được thực hiện trong trường hợp xấu nhất (log n), trong đó n là số phần tử trong cây gốc. Vì cây kết quả sẽ chia sẻ một số nút với cây ban đầu, cách tiếp cận này chỉ phù hợp nếu cây không thay đổi (hoặc cây có thể thay đổi nhưng cây ban đầu không còn cần thiết nữa).

Đầu tiên lưu ý rằng hoạt động phụ có thể được thực hiện bằng hai hoạt động phân chia. Ở đây, phép toán tách lấy một cây T đen đỏ và một khóa x và tạo ra hai cây L và R sao cho L bao gồm tất cả các phần tử của T nhỏ hơn x và R các phần tử của T lớn hơn x. Do đó, mục tiêu của chúng tôi bây giờ là triển khai thao tác phân tách trên các cây đỏ đen trong trường hợp xấu nhất (log n).

Làm thế nào để chúng ta thực hiện thao tác tách trên cây đỏ đen trong thời gian O (log n)? Chà, hóa ra là có một phương pháp nổi tiếng. (Tôi không biết điều đó, nhưng tôi không phải là chuyên gia về cấu trúc dữ liệu.) Hãy xem xét hoạt động nối , lấy hai cây L và R sao cho mọi giá trị trong L nhỏ hơn mọi giá trị trong R và tạo ra một cây bao gồm tất cả các giá trị trong L và R. Hoạt động nối có thể được thực hiện trong trường hợp xấu nhất O (| r _L r _R | +1), trong đó r _L và r _Rlần lượt là các cấp bậc của L và R (nghĩa là số lượng nút đen trên đường dẫn từ gốc đến từng lá). Hoạt động phân tách có thể được thực hiện bằng cách sử dụng thao tác nối O (log n) lần và tổng thời gian trong trường hợp xấu nhất vẫn là O (log n) bằng cách xem xét tổng số kính thiên văn.

Phần 4.1 và 4.2 của một cuốn sách [Tar83] của Tarjan mô tả cách thực hiện phép nối và phép chia trên các cây đỏ đen trong trường hợp xấu nhất O (log n). Những triển khai này phá hủy cây gốc, nhưng thật dễ dàng để chuyển đổi chúng thành các triển khai chức năng bất biến bằng cách sao chép các nút thay vì sửa đổi chúng.

Là một lưu ý phụ, các mô-đun Set và Map của Objective Caml cung cấp hoạt động phân tách cũng như các hoạt động tiêu chuẩn khác trên các cây tìm kiếm nhị phân cân bằng (không thay đổi). Mặc dù họ không sử dụng cây đỏ-đen (họ sử dụng cây tìm kiếm nhị phân cân bằng với ràng buộc là chiều cao bên trái và chiều cao bên phải khác nhau nhiều nhất là 2), nhưng nhìn vào việc triển khai của chúng cũng có thể hữu ích. Đây là việc thực hiện mô-đun Set .

Người giới thiệu

[Tar83] Robert Endre Tarjan. Cấu trúc dữ liệu và thuật toán mạng . Tập 44 của Chuỗi hội nghị khu vực CBMS-NSF về Toán ứng dụng , SIAM, 1983.

Giải pháp là không sử dụng cây đỏ-đen. Trong cây splay và cây AVL, mã để tách và nối rất đơn giản. Tôi giới thiệu cho bạn các URL sau với mã java cho cây splay và cây AVL hỗ trợ điều này. Truy cập URL sau và xem Set.java (cây avl) và SplayTree.java (cây splay).

ftp://ftp.cs.cmu.edu/usr/ftp/usr/sleator/splaying/

--- Sleator Daniel

(Điều này có nghĩa là một bình luận nhưng tôi quá mới để lại bình luận.)

Tôi chỉ muốn lưu ý rằng bạn cũng có thể quan tâm đến hoạt động "cắt bỏ", nó trả về phân vùng dưới dạng cây mới và cây đầu vào mà không có phân vùng như một cây khác. Bạn cần có quyền kiểm soát biểu diễn cơ bản của cây mặc dù phương thức đã biết phụ thuộc vào các liên kết mức. Sự cắt bỏ chạy theo thời gian logarit theo kích thước của cây nhỏ hơn , mặc dù theo nghĩa được khấu hao ("khấu hao" là iirc, bởi vì tôi không có quyền truy cập vào bài báo nữa) Xem:

K. Hoffman, K. Mehlhorn, P. Rosenstiehl và RE Tarjan, Sắp xếp các chuỗi Jordan theo thời gian tuyến tính bằng cách sử dụng các cây tìm kiếm được liên kết theo cấp độ, Thông tin và Kiểm soát, 68 (1986), 170 phản-18

Tái bút: Các trích dẫn trên đến từ bài viết của Tridel. Treaps cũng hỗ trợ cắt bỏ.

$n$$m$$[a,b]$

1. $O(\lg n)$$\ge a$$a$
2. $O(m)$
3. $O(m)$

$O(m+\lg n)$$O(n+m\lg m)$

$o(m)$$\Omega(\lg m)$$k$$\lg m$

Tôi đã không tìm hiểu chi tiết, vì vậy tôi không chắc việc ghi sổ thêm ảnh hưởng đến thời gian hoạt động như thế nào.

$O(1)$$\Omega(\lg m)$