Phân vùng 3-Clique cho đồ thị đường kính cố định

Vấn đề phân vùng 3-bè lũ là vấn đề xác định xem các đỉnh của đồ thị, nói , có thể được phân chia thành 3 bè phái. Vấn đề này là NP-hard bằng cách giảm đơn giản từ vấn đề 3 màu. Không khó để thấy rằng câu trả lời cho vấn đề này rất dễ khi hoặc . Vấn đề vẫn là NP-hard khi bằng cách giảm đơn giản từ chính nó (đưa ra biểu đồ , thêm một đỉnh và kết nối nó với tất cả các đỉnh khác).diam ( G ) = 1 diam ( G ) > 5 diam ( G ) = 2 $G$$\textrm{diam}(G) = 1$$\textrm{diam}(G) > 5$$\textrm{diam}(G) = 2$$G$

Sự phức tạp của vấn đề này đối với các biểu đồ với trong gì?3 ≤ p ≤ $\textrm{diam}(G) = p$$3\le p \le 5$

Vấn đề có vẻ là trong .$P$

Lấy hai đỉnh , với khoảng cách chính xác là 3 (một cặp như vậy phải tồn tại khi ). Chúng phải có các màu khác nhau (tôi sẽ sử dụng R, G, B để biểu thị 3 màu và các đỉnh trong cùng một cụm được tô cùng màu). Wlog giả sử có màu Đỏ và có màu Xanh lục.v p ≥ 3 u $u$$v$$p\ge 3$$u$$v$

$\Gamma(u)$$u$$\Gamma(v)$$V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$$u$$v$$u$$v$$v$phải được tô màu Xanh lá hoặc Xanh dương. Mỗi đỉnh hiện có tối đa hai lựa chọn, do đó, vấn đề trở thành một ví dụ 2-SAT mà chúng ta có thể giải quyết trong thời gian đa thức.