Ngừng vấn đề, bộ không tính toán: chứng minh toán học phổ biến?

Được biết, với một bộ thuật toán có thể đếm được (đặc trưng bởi số Gôdel), chúng ta không thể tính toán (xây dựng thuật toán nhị phân kiểm tra thuộc) tất cả các tập con của N.

Một bằng chứng có thể được tóm tắt là: nếu chúng ta có thể, thì tập hợp tất cả các tập hợp con của N sẽ có thể đếm được (chúng ta có thể liên kết với mỗi tập hợp con số thuật toán của Godel để tính toán nó). Vì điều này là sai, nó chứng minh kết quả.

Đây là một bằng chứng tôi thích vì nó cho thấy rằng vấn đề tương đương với các tập con của N không thể đếm được.

Bây giờ tôi muốn chứng minh rằng vấn đề tạm dừng không thể giải quyết được nếu chỉ sử dụng kết quả tương tự này (không thể đếm được của các tập con N), vì tôi đoán đó là những vấn đề rất gần. Có thể chứng minh nó theo cách này?

computability halting-problem

— Weier
nguồn

Rõ ràng cả hai kết quả có thể được chứng minh bằng cách sử dụng cùng một kỹ thuật (đường chéo). Tuy nhiên, tôi không nghĩ rằng có thể chứng minh tính không ổn định của vấn đề tạm dừng chỉ bằng cách sử dụng tính không thể đếm được của họ các tập con của, vì trước đây là về sự so sánh giữa RE và R , cả hai đều là gia đình có thể đếm được của tập con của ℕ.

— Tsuyoshi Ito

Chỉ có vô số chương trình có quyền truy cập vào nhà tiên tri tạm dừng, một lần nữa được đặc trưng bởi một số Godel. Tuy nhiên, vấn đề tạm dừng IS trong số bộ có thể đếm được này.

— David Harris

Định lý tạm dừng, định lý Cantor (tính không đẳng cấu của tập hợp và tập hợp sức mạnh của nó) và định lý không hoàn chỉnh của Goedel là tất cả các trường hợp của định lý điểm cố định Lawvere, nói rằng đối với bất kỳ thể loại đóng cartesian nào, nếu có một bản đồ biểu đồ thì mọi có một điểm cố định. $e : A \to (A \Rightarrow B)$ $f : B \to B$

Luật sư, F. William. Đối số đường chéo và danh mục đóng Cartesian . Bài giảng trong Toán học, 92 (1969), 134-145.

Để có một giới thiệu tốt đẹp về những ý tưởng này, hãy xem bài đăng trên blog này của Andrej Bauer .

— Neel Krishnaswami
nguồn

Điều đó khá gọn gàng. Tôi đã không nhận ra rằng có một cuộc tranh luận chính thức thực sự thống nhất chúng.

— Suresh Venkat

Bây giờ tôi đã học được rằng nghi ngờ rằng, nếu nó trông giống nhau và có mùi giống nhau, có một lập luận phân loại về ý nghĩa của nó giống nhau.

— Vijay D

IMO, hai điều thực sự hay về định lý Lawvere là (a) đó là một tuyên bố tích cực, chứ không phải là một phủ định và (b) bằng chứng là một nửa tá các phép tính toán lambda đơn giản.

— Neel Krishnaswami

Khi tôi đọc câu hỏi, tôi nghĩ rằng ai đó nên đề cập đến định lý điểm cố định của Lawvere. Hãy tưởng tượng niềm vui của tôi khi tôi đọc câu trả lời :-)

— Andrej Bauer

e là epimorphic không phải là điều kiện đúng. Bạn cần tính từ tính điểm, điều này không ngụ ý hay ngụ ý bởi điều kiện là biểu hiện. Xem Ghi chú 2.3 ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theorem

— fhyve