Phát hiện quan hệ số nguyên cho Subset Sum hoặc NPP?

Có cách nào để mã hóa một thể hiện của Subset Sum hoặc Bài toán phân vùng số để giải pháp (nhỏ) cho một quan hệ số nguyên mang lại câu trả lời không? Nếu không chắc chắn, thì trong một số ý nghĩa xác suất?

Tôi biết rằng LLL (và có lẽ là PSLQ) đã được sử dụng với thành công vừa phải trong việc giải quyết các vấn đề Subset Sum trong khu vực 'mật độ thấp', trong đó phạm vi số được chọn lớn hơn , nhưng các phương pháp này không mở rộng tốt trường hợp của kích thước lớn hơn và thất bại trong 'mật độ cao' khu vực, khi phạm vi số được chọn là nhỏ hơn nhiều so với . Ở đây mật độ thấp và mật độ cao đề cập đến số lượng giải pháp. Vùng mật độ thấp đề cập đến một vài hoặc không có giải pháp tồn tại trong khi mật độ cao đề cập đến một khu vực có nhiều giải pháp. $2^N$ $2^N$

Trong khu vực mật độ cao, LLL tìm thấy các mối quan hệ số nguyên (nhỏ) giữa các trường hợp được đưa ra, nhưng khi kích thước cá thể tăng lên, xác suất của mối quan hệ được tìm thấy là một giải pháp Subset Sum hoặc Số phân chia vấn đề khả thi trở nên nhỏ hơn.

Phát hiện quan hệ số nguyên là đa thức trong giới hạn hàm mũ của tối ưu trong khi Subset Sum và NPP rõ ràng là NP-Complete, vì vậy nói chung điều này có thể là không thể, nhưng nếu trường hợp được vẽ đồng nhất một cách ngẫu nhiên, điều này có thể làm cho nó đơn giản hơn không?

Hoặc tôi thậm chí không nên hỏi câu hỏi này và thay vào đó là hỏi liệu có cách nào để giảm ràng buộc theo cấp số nhân từ câu trả lời tối ưu thay cho sự gia tăng theo cấp số nhân trong tính toán không?

— người dùng834
nguồn

Tôi không nhận được bất kỳ câu trả lời nào vì vậy tôi đã đăng chéo lên mathoverflow: mathoverflow.net/questions/38063/iêu

— user834

Đây là một câu hỏi rất thú vị, tôi cũng đang chờ câu trả lời. Về cơ bản, bạn đang yêu cầu giảm thời gian đa thức (có thể là ngẫu nhiên) từ tổng tập hợp con hoặc NPP sang quan hệ số nguyên. Làm thế nào về vấn đề này, nếu

là mục tiêu của vấn đề tập hợp con sum của bạn, và

là một tập hợp các số nguyên dương, với

một giải pháp đáp ứng

. Đây chính xác là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số thực bằng 1. Nếu với mỗi

bạn có

t = 0

$t=0$

S

$S$

S^{'}

$S'$

0 = \sum_{a \in S^{'}} a

$0=\sum_{a\in S'} a$

a_{i} \in S

$a_i \in S$

luôn có một giải pháp và ánh xạ tới quan hệ số nguyên cũng sẽ cung cấp cho bạn một giải pháp.

\sum_{i} a_{i} < 2^{n} - 1

$\sum_i a_i < 2^n-1$

— Marcos Villagra

@Marcos Villagra: nhận xét của bạn hơi khó phân tích ... người ta có thể nhúng vấn đề dưới dạng vấn đề phân vùng tổng / số vào một mạng (xem ở đây để đánh giá), câu hỏi là tìm cách hạn chế hệ số bộ mong muốn (0,1 hoặc -1,1, nói). LLL sẽ tìm thấy một mối quan hệ số nguyên, thậm chí là một mối quan hệ nhỏ, nhưng chỉ cần một hoặc 2 hoặc một hệ số sẽ làm mất hiệu lực của nó như là một câu trả lời phân vùng tổng / số tập hợp con.

— user834

$m=O(\log n)$ $\Omega(2^{m})$ $m=\omega(\log n)$ $m=o(n)$

Tuy nhiên, Flaxman và Przydatek cung cấp một thuật toán giải quyết các vấn đề tổng hợp mật độ trung bình trong thời gian đa thức dự kiến.

Kiểm tra tài liệu tham khảo này:

Flaxman và Przydatek, giải quyết các vấn đề tổng hợp mật độ trung bình trong thời gian đa thức dự kiến

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

Kết quả này chỉ dành cho việc chọn các số trong thể hiện Tổng hợp con thấp hơn đáng kể so với tôi muốn. Họ chọn phạm vi số theo thứ tự log (n) ^ 2 trong khi tôi thú vị trong phạm vi số theo thứ tự 2 ^ n. Có những thuật toán nổi tiếng để giải quyết Subset Sum khi phạm vi số bị hạn chế quá thấp và có vẻ như chúng vừa mở rộng phạm vi này một chút, thật tuyệt, đó không phải là thứ tôi đang tìm kiếm. Cảm ơn bạn mặc dù.

— dùng834