Chạy thuật toán BPP với chuỗi nửa ngẫu nhiên, nửa nghịch cảnh

Hãy xem xét mô hình sau: một chuỗi n-bit r = r ₁ ... r _n được chọn thống nhất một cách ngẫu nhiên. Tiếp theo, mỗi chỉ số i∈ {1, ..., n} được đặt vào tập A với xác suất độc lập 1/2. Cuối cùng, một đối thủ được phép, cho mỗi i∈A riêng biệt, để lật r _i nếu nó muốn.

Câu hỏi của tôi là: chuỗi kết quả (gọi là r ') có thể được sử dụng bởi thuật toán RP hoặc BPP làm nguồn ngẫu nhiên duy nhất không? Giả sử rằng đối thủ biết trước toàn bộ thuật toán BPP, chuỗi r và tập A và nó có thời gian tính toán không giới hạn. Cũng giả sử (rõ ràng) rằng thuật toán BPP không biết các quyết định lật của đối thủ cũng như A.

Tôi nhận thức rõ rằng có một dòng công việc dài về chính xác loại câu hỏi này, từ công trình của Umesh Vazirani trên các nguồn bán ngẫu nhiên (một mô hình khác nhưng có liên quan), đến công việc gần đây hơn về máy chiết, sáp nhập và tụ. Vì vậy, câu hỏi của tôi chỉ đơn giản là liệu bất kỳ công việc đó mang lại điều tôi muốn! Tài liệu về các nguồn ngẫu nhiên yếu rất lớn, với rất nhiều mô hình khác nhau tinh vi, đến nỗi ai đó biết rằng văn học có thể giúp tôi tiết kiệm rất nhiều thời gian. Cảm ơn trước!

Những gì bạn cần là một "trình trích xuất hạt giống" với các tham số sau: hạt có độ dài , độ ngẫu nhiên thô và chiều dài đầu ra . Những điều này được biết đến. Mặc dù tôi không cập nhật các cuộc khảo sát gần đây nhất, tôi tin rằng phần 3 của khảo sát của Ronen là đủ.n /$O(\log n)$$n/2$$n^{\Omega(1)}$

Điều duy nhất bạn cần chỉ ra là nguồn của bạn có đủ "min-entropy", tức là không có chuỗi n-bit nào có xác suất lớn hơn , mà tôi nghĩ là rõ ràng trong cài đặt của bạn.$2^{-n/2}$

Đối thủ có được phép xem toàn bộ chuỗi r trước khi quyết định cách đặt các bit trong A không? Nếu câu trả lời là không thì đây là một nguồn sửa lỗi bit, thực sự có thể trích xuất được. Đó là, không có hạt giống thực sự ngẫu nhiên cần thiết. Xem, ví dụ, Kamp và Zuckerman để xây dựng các trình trích xuất cho các nguồn cố định bit.

Nếu đối thủ được phép nhìn thấy phần còn lại của chuỗi, tôi vẫn đoán rằng nó có thể trích xuất một cách xác định, nhưng các mô hình hơi khác nhau và tôi không biết chúng có liên quan như thế nào. Vì tập A là ngẫu nhiên, nó thực sự thậm chí còn thân thiện hơn nguồn cố định bit, trong đó tập A có thể tùy ý.

Noam là đúng, tất nhiên. Trong lịch sử, mô phỏng đầu tiên của BPP với nguồn bất kỳ tỷ lệ entropy không đổi nào đã được đưa ra trong bài viết của tôi "Mô phỏng BPP sử dụng nguồn ngẫu nhiên yếu chung". Bây giờ có những cách đơn giản hơn để đạt được điều này và thậm chí kết quả mạnh mẽ hơn.

Việc trích xuất xác định nhiều hơn một số bit không đổi là không thể trong mô hình của bạn. (Bạn có thể nhận được một số trích xuất xác định yếu 1 bit bằng cách xuất ra bit đầu tiên.) Tôi và tôi đã chỉ ra rằng không thể trích xuất nhiều hơn một số bit không đổi trong một nguồn cố định bit không bị lãng quên chung với tốc độ entropy không đổi, nhưng vì tập A là ngẫu nhiên, những kết quả đó không áp dụng như đã nêu. Tuy nhiên, bằng chứng của chúng tôi đã hoạt động bằng cách chọn A ngẫu nhiên có kích thước t cố định, do đó, bằng cách chọn t = .6n, giả sử, kết quả cho A ngẫu nhiên đồng nhất sẽ theo sau.