NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

33

Trong "Về tính quyết định so với thuyết không xác định và các vấn đề liên quan" (Proc. IEEE FOCS, trang 429 trừ438, 1983), Paul, Pippenger, Szemerédi và Trotter đã chứng minh rằng .
$\mathsf{NTIME}(n)\neq\mathsf{DTIME}(n)$

Điều này trả lời câu hỏi của tôi với k = 1. Có bất cứ điều gì được biết về một kết quả tương tự cho một k cố định khác không?

cc.complexity-theory

— Bruno
nguồn

26

Không có giới hạn dưới vô điều kiện nào được biết đến với bất kỳ trong mô hình TM đa nhiệm (hoặc bất kỳ mô hình nào mạnh hơn nó). $k \geq 2$

Ravi Kannan đã nghiên cứu vấn đề này trong "Hướng tới tách biệt chủ nghĩa không xác định khỏi chủ nghĩa quyết định" (1984) . Trong quá trình cố gắng hiển thị , anh ta đã chứng minh được những điều sau: có một số hằng số phổ biến sao cho với mọi , . Ở đây, là lớp ngôn ngữ được máy nhận ra bằng cách sử dụng thời gian và dấu cách . Rõ ràng nhưng không biết liệu chúng có bằng nhau hay không. $NTIME(n^k) \neq TIME(n^k)$ $c \geq 1$ $k$ $NTIME(n^k) \not \subseteq TIME-SPACE(n^k,n^{k/c})$ $TIME-SPACE(n^k, n^{k/c})$ $n^k$ $n^{k/c}$ $TIME-SPACE(n^k,n^{k/c}) \subseteq TIME(n^k)$

Nếu bạn giả sử với một số rằng , bạn sẽ nhận được những hậu quả thú vị. là hiển nhiên, nhưng nó cũng ngụ ý rằng . Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng đối số "giao dịch xen kẽ". Về cơ bản, đối với mỗi và mọi ngôn ngữ , có một hằng số và một số máy điện xoay chiều công nhận và làm cho alternations, đoán bit cho mỗi thay đổi luân phiên, sau đó chuyển sang một chế độ xác định và chạy trong thời gian . (Điều này theo sau, ví dụ, từ chơi xung quanh với các công trình trong $k \geq 2$ $NTIME(n^k) = TIME(n^k)$ $P=NP$ ${\sf NL} \neq {\sf P}$ $k$ $L \in {\sf NL}$ $c$ $L$ $c$ $O(n)$ $n^k$ Fortnow, "Sự đánh đổi không gian theo thời gian cho sự thỏa mãn" (1997) .) Bây giờ nếu thì tất cả các thay thế này có thể được loại bỏ chỉ với một lượng nhỏ chi phí và bạn sẽ kết thúc với một tính toán rằng nhận . Do đó . Có lẽ không có mô phỏng xen kẽ như vậy tồn tại, nhưng nếu bạn có thể loại trừ nó, thì bạn sẽ có giới hạn thấp hơn mà bạn tìm kiếm. (Lưu ý: Tôi tin rằng lập luận trên cũng nằm trong bài viết của Kannan.) $TIME(n^k) = NTIME(n^k)$ $c$ $TIME(n^k)$ $L$ ${\sf NL }\subseteq TIME(n^k) \neq {\sf P}$

— Ryan Williams
nguồn

11

trong khi không chính xác những gì bạn đang hỏi, rj lipton bình luận trên blog của anh ấy về sự khó khăn cơ bản của kết quả trong lĩnh vực này và cách tiếp cận điển hình của "đệm" không áp dụng [1] & chỉ ra rằng kết quả PPST như bạn đã trích dẫn gần đây được mở rộng một chút (bởi yếu tố logarit) bởi Santhanam [2] tức là

D T I M E (n \sqrt{l o g^{*} (n)}) \neq N T I M E (n \sqrt{l o g^{*} (n)})

$\mathsf{DTIME}\left( n \sqrt{log^*(n)}\right) \neq \mathsf{NTIME}\left(n \sqrt{log^*(n)}\right)$

[1] http://rjlipton.wordpress.com/2011/01/19/we- Believe-a-lot-but-can-prove-little/

[2] http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.2392

— vzn
nguồn

1

Phiên bản chính thức của bài báo năm 2001 của Rahul Santhanam là dx.doi.org/10.1109/CCC.2001.933895 (và hầu như không phải là gần đây).

— András Salamon

Lipton đã sử dụng cụm từ "gần đây hơn" trong blog của mình trích dẫn nó. "gần đây hơn" với kết quả PPST 1983.

— vzn