Một thuật toán để tìm một đỉnh đỉnh tối thiểu trên biểu đồ lưỡng cực với các đỉnh có trọng số là gì?

Tôi biết rằng đối với một đồ thị lưỡng cực không có trọng số, tôi có thể tìm thấy nắp đỉnh tối thiểu bằng cách trước tiên tìm khớp tối đa và biến nó thành nắp đỉnh bằng Định lý König. Có một sửa đổi người ta có thể sử dụng nếu các nút có trọng số?

ds.algorithms graph-theory

— Andrey Fedorov
nguồn

Mặc dù giải pháp được đưa ra bởi Shiva Kintali giải quyết vấn đề của bạn, tôi chỉ muốn thêm một nhận xét nhanh: Định lý của König là tất cả về tim mạch. Bạn có thể thêm trọng số, tìm kết quả khớp lưỡng cực tối đa chi phí tối thiểu (có thuật toán cho trọng số cạnh; trọng số nút dễ sử dụng thay thế), nhưng bạn vẫn chỉ nhận được nắp đỉnh tối thiểu chi phí tối thiểu - có thể không phải là nắp đỉnh chi phí tối thiểu (nghĩa là có thể bao gồm nhiều nút hơn). Một kết hợp chi phí tối thiểu không có ràng buộc / tối ưu hóa cardinality sẽ chỉ trống (đối với trọng số dương),

— Magnus Lie Hetland

Vấn đề che phủ đỉnh có trọng số có thể được coi là Chương trình Số nguyên (xem http://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_cover ). Khi đồ thị đầu vào là lưỡng cực, ma trận ràng buộc của IP này hoàn toàn không có hình dạng. Do đó IP này có thể được giải quyết trong thời gian đa thức.

Để biết thêm chi tiết về tổng ma trận đơn phương và các thuật toán tương ứng, hãy xem cuốn sách xuất sắc (ba tập) của Alexander Schrijver .

— Shiva Kintali
nguồn

Nói chính xác hơn, IP có thể được giải quyết bằng cách giải quyết thư giãn LP. Hơn nữa, người ta có thể nhận thấy rằng kép của LP là sự tổng quát hóa khớp (với công suất tương ứng với trọng số của các đỉnh trong thể hiện nắp đỉnh) và có thể được giải quyết bằng cách giảm lưu lượng tối đa theo cách thông thường.

— Chandra Chekuri

@ChandraChekuri peudo-code của việc giảm lưu lượng tối đa có thể được tìm thấy trong Hình 4 trong Tính toán tăng dần của các phong bì tài nguyên trong các mô hình nhà sản xuất-người tiêu dùng

— xuhdev