Hoàn thành đồ thị chu kỳ lẻ hợp âm tối thiểu: có phải NP-hard không?

Vấn đề thú vị sau đây xuất hiện trong nghiên cứu của tôi gần đây:

NGAY LẬP TỨC: Đồ thị .$G(V, E)$

GIẢI PHÁP: Một chordless hoàn lẻ chu kỳ, được định nghĩa là một superset của cạnh bộ sao cho đồ thị đầy đủ có các tài sản mà mỗi cạnh trong G ' được chứa trong một chordless chu kỳ quặc.$E'$G ' ( V , E '$E$$G'(V, E')$$G'$

BIỆN PHÁP: Kích thước hoàn thành, nghĩa là .$|E' - E|$

Cho đến nay, chúng tôi có thể chứng minh rằng một phiên bản sửa đổi của vấn đề này là NP-đầy đủ, nơi thay vì đòi hỏi rằng "tất cả các cạnh trong được chứa trong một chordless chu kỳ quặc" chúng tôi yêu cầu tài sản mạnh rằng "mỗi cạnh được chứa trong một tam giác (chu kỳ dài 3) ". (Lưu ý rằng điều này không tương đương với vấn đề HOÀN TOÀN HÌNH ẢNH TỐI THIỂU TỐI THIỂU .)$G'$

Cái trước dễ dàng được coi là một khái quát của cái sau, nhưng đến nay mọi nỗ lực của tôi để chứng minh nó đã thất bại. Bất cứ ai cũng có thể đưa ra một con trỏ / tham chiếu / vv.?

Chúng tôi chứng minh rằng vấn đề là NP-hard ngay cả ở dạng quyết định của nó, tức là '' Đồ thị đầu vào đã hoàn thành chu kỳ lẻ không hợp âm chưa? '' Bằng cách giảm từ vấn đề sau:$G$

Bài toán P : Cho đồ thị và cạnh e ∈ E ( G ) , có một chu kỳ lẻ không có hợp âm có độ dài lớn hơn 3 đi qua$G$$e\in E(G)$ không?$e$

Vấn đề này được biết đến là NP-hard bằng cách giảm từ '' phát hiện các chu kỳ không hợp âm đi qua một nút đã cho '' trong tham chiếu được đưa ra trong một trong những bình luận của bạn được nêu trong đoạn trước phần 3 bằng cách cho và q = 2 :$p=0$$q=2$

Là một sang một bên, chúng ta hãy và p ≥ 0 được tùy ý số nguyên cố định. Các vấn đề sau là NP-đầy đủ: Đồ thị G có chứa chu kỳ cảm ứng thông qua một đỉnh u quy định , có độ dài p (mod$q>1$$p\ge 0$$G$$u$$p$ ) không? ...$q$

(Có thể giảm Karp, nhưng nếu chúng ta cho phép Cook một, hãy xem xét mức giảm sau: Thay thế nút độ d đã cho thành một sơ đồ hoàn chỉnh có kích thước d bằng các cạnh đi phù hợp. Sau đó, với mỗi cạnh trong biểu đồ hoàn chỉnh, chúng ta có thể truy vấn lời tiên tri giải quyết vấn đề P. Lưu ý rằng một chu trình chẵn chẵn đi qua nút đã cho tương ứng với một chu kỳ lẻ không có hợp âm có độ dài lớn hơn 3 đi qua một trong các cạnh trong đồ thị hoàn chỉnh.)

Bây giờ cho giảm chính. Cho một ví dụ của Bài toán P, đầu tiên chúng tôi phát hiện nếu có bất kỳ tam giác nào đi qua ; nếu vậy, xóa mọi nút tạo thành một tam giác với e . Lưu ý rằng việc xóa các nút tạo thành một tam giác với e sẽ không xóa bất kỳ chu kỳ lẻ không hợp âm nào đi qua$e$$e$$e$ (bởi thuộc tính không hợp âm).$e$

Tiếp theo, với mỗi cạnh khác với e = ( u , v ), chúng ta thêm một nút phụ v f và hai cạnh ( v f , u ) và ( v f , v ) . Quan sát rằng đồ thị mới G ' có tính chất sau:$f$$e=(u,v)$$v_f$$(v_f,u)$$(v_f,v)$$G'$

có chu kỳ lẻ không hợp âm có độ dài lớn hơn 3 đi qua e khi và chỉ khi G ′ là hoàn thành chu kỳ lẻ không có hợp âm.$G$$e$$G'$

Đối với chỉ khi hướng, nó có thể được chứng minh qua việc xem xét các loại khác nhau của các cạnh trong . Mọi cạnh khác ngoài e (bao gồm cả các cạnh mới được thêm vào) sẽ nằm trong ít nhất một tam giác (cạnh có chứa nút phụ); và e sẽ ở trong một chu kỳ lẻ không có hợp âm trong G ′ vì có một chu kỳ lẻ không có hợp âm đi qua e trong G và chu trình không bị xóa trong quá trình xóa nút.$G'$$e$$e$$G′$$e$$G$

Đối với hướng if, vì mọi cạnh khác ngoài phải nằm trong ít nhất một tam giác, chúng ta chỉ phải lo lắng về cạnh e . Có một chu kỳ lẻ chordless đi qua e trong G ' ( G ' là một lẻ hoàn thành chu kỳ chordless). Chu kỳ không thể có chiều dài 3 bằng xây dựng G ' , và kể từ khi chu kỳ không thể chứa bất kỳ nút phụ trợ (do khách sạn chordless), nó sẽ nằm trong đồ thị G là tốt. Do đó bằng chứng đã hoàn tất.$e$$e$$e$$G'$$G'$$G'$$G$