Độ phức tạp của bản đồ là một sản phẩm

Câu hỏi này xuất phát từ sự tò mò thuần túy (nó xuất hiện trong khi suy nghĩ về việc xáo trộn một chuỗi , nhưng tôi không chắc liệu nó có thực sự liên quan hay không) vì vậy tôi hy vọng nó phù hợp.

Có nhiều sản phẩm đồ thị khác nhau và tôi quan tâm đến bất kỳ sản phẩm nào ở đây. Độ phức tạp của việc xác định xem đồ thị có phải là đẳng cấu với sản phẩm không tầm thường không? (Chắc chắn đối với sản phẩm của Cartesian, trong đó là đồ thị có một đỉnh.)$K$$K = K \square 1$$1$

Tôi đã xem các trang "đồ thị nhân tố" và "nhân tố đồ thị" trên Wikipedia, nhưng dường như không liên quan. Là vấn đề này được biết dưới tên khác?

Kiểm tra giấy Wilfried, Imrich; Iztok, Peterin, Công nhận các sản phẩm của Cartesian trong thời gian tuyến tính . Toán học rời rạc., 307, 3-5, Trang (47): 472--483, 2007 Tôi nghĩ rằng Imrich có nhiều giấy tờ hơn cho các sản phẩm khác.

Một số sản phẩm đồ thị có thể được công nhận trong thời gian đa thức. Như thường lệ, sản phẩm của Cartesian là dễ nhất và vỏ Cartesian cũng là cơ sở cho các thuật toán cho một số sản phẩm khác. Công nhận sản phẩm từ điển (thành phần) tương đương với đẳng cấu đồ thị.

Chi tiết hơn:

Đặt là lớp biểu đồ đơn giản hữu hạn và là lớp biểu đồ đơn giản hữu hạn có thể có các vòng lặp tự. (Rõ ràng .)gamma 0 gamma ⊂ gamma $\Gamma$$\Gamma_0$$\Gamma \subset \Gamma_0$

Quyết định xem đồ thị đầu vào được kết nối có các yếu tố trong có thể được thực hiện trong thời gian đa thức cho Cartesian và các sản phẩm mạnh và cho sản phẩm trực tiếp khi không phải là lưỡng cực. Quyết định xem có các yếu tố trong trong thời gian đa thức cho sản phẩm Cartesian hay không, nhưng không chắc là trong thời gian đa thức cho sản phẩm từ điển. Tôi không biết tình trạng của quyết định nếu G có yếu tố trong Γ cho các sản phẩm trực tiếp và mạnh mẽ.Γ 0 G G $G$$\Gamma_0$$G$$G$$\Gamma$$G$$\Gamma$

Kết quả có liên quan từ Imrich và Klavžar:

Định lý 4.10. Đối với đồ thị được kết nối trên n đỉnh và m cạnh, người ta có thể tìm thấy thừa số nguyên tố đối với sản phẩm Cartesian trong thời gian O ( m n ) sử dụng không gian O ( m ) .$G$$n$$m$$O(mn)$$O(m)$

Định lý 5.43. Sự phân rã nhân tố chính của các đồ thị không kết nối được kết nối trong đối với sản phẩm trực tiếp và các đồ thị đơn giản được kết nối liên quan đến sản phẩm mạnh có thể được xác định trong thời gian đa thức.$\Gamma_0$

$O(m\log n)$$O(m)$

Đối với sản phẩm từ điển:

Định lý 6.20. Vấn đề quyết định xem một đồ thị được kết nối nhất định có phải là nguyên tố đối với sản phẩm từ điển hay không ít nhất là khó như bài toán đẳng cấu.

$n$$n$

Vì vậy, việc quyết định xem một biểu đồ có phải là nguyên tố đối với sản phẩm từ điển tương đương với GRAPH ISOMORPHISM hay không, liên quan đến việc giảm Turing.

Trường hợp của sản phẩm trực tiếp và mạnh mẽ có các yếu tố không có vòng lặp dường như không có trong các tài liệu tham khảo mà tôi đã xem xét. Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ con trỏ đến các bài báo thảo luận về trường hợp này, hoặc một gợi ý tại sao nó không thú vị.

• Wilfried Imrich và Sandi Klavžar, Đồ thị sản phẩm: Cấu trúc và sự công nhận . Wiley, 2000. ISBN 0-471-37039-8.

Có một thuật toán thời gian tuyến tính để xác định các yếu tố chính của đồ thị được kết nối đối với sản phẩm của Cartesian. Xem bài báo của Imrich và Peterin.