Câu hỏi ví dụ tự động lượng tử hữu hạn 1 chiều

Tôi đang cố gắng làm rõ sự hiểu biết của mình trong ví dụ được trình bày trong Phần 2.2 của Tự động lượng tử hữu hạn 1 chiều: Điểm mạnh Điểm yếu và khái quát hóa ( liên kết thay thế này cũng có thể hữu ích). Ví dụ này cung cấp một ví dụ rất đơn giản về 1-QFA với các quy tắc chuyển đổi sau:

, $V_a|q_0\rangle = \frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle + \frac{1}{\sqrt 2}|q_{rej}\rangle$

, $V_a|q_1\rangle = \frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle - \frac{1}{\sqrt 2}|q_{rej}\rangle$

, $V_{\$}|q_0\rangle = |q_{rej}\rangle$

$V_{\$}|q_1\rangle = |q_{acc}\rangle$

Chẳng hạn, nếu tôi ở và tôi xử lý làm đầu vào, tôi áp dụng quy tắc đầu tiên. Hiểu biết của tôi là tôi sẽ có một $q_0$ $a$ cơ hội ở lại trong bang, một $||\frac{1}{2}||^2 = \frac{1}{4}$ $|q_0\rangle$ cơ hội tiến tới trạng tháivà một $||\frac{1}{2}||^2 = \frac{1}{4}$ $|q_1\rangle$ cơ hội kết thúc tính toán và từ chối chuỗi. $||\frac{1}{\sqrt 2}||^2 = \frac{1}{2}$

Tôi sẽ tưởng tượng automata cho điều này trông giống như hình ảnh sau đây

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Tôi không hoàn toàn chắc chắn nếu điều đó là chính xác tuy nhiên. Xác suất được đề cập trong bài báo chấp nhận chuỗi là $aa$ trong khi xác suất từ chối là $\frac{1}{4}$ . Chỉ cần tự hỏi nếu ai đó có thể chỉ ra một lỗ hổng hoặc xác nhận những gì tôi có trong ý tưởng cho ví dụ. $\frac{3}{4}$

Cảm ơn.

Làm lại mô hình automata để phản ánh chính xác hơn các xác suất: nhập mô tả hình ảnh ở đây

— Vincent Russo
nguồn

Tôi đề nghị bạn tra cứu "chồng chất lượng tử". Có vẻ như bạn đang diễn giải nó hoàn toàn có xác suất, mà bỏ qua khả năng can thiệp, là trung tâm của điện toán lượng tử.

— funkstar

Chà, tôi đang xem xét trạng thái ở trạng thái chồng chất trên mỗi đầu vào. Với đầu vào cho automata, nó tiến tới trạng thái tiếp theo dựa trên sự sụp đổ của sự chồng chất từ phép đo. Giá trị thu gọn này thu được từ chồng chất trước đó đóng vai trò là trọng số cho quá trình chuyển đổi. Ví dụ ở bước một, xác suất để chuyển từ

sang

là

q_{0}

$q_0$

q_{r e j}

$q_{rej}$

. Mỗi bước tính toán tạo ra một phép đo.

| | \frac{1}{\sqrt{2}} | |^{2}

$||\frac{1}{\sqrt 2}||^2$

— Vincent Russo

Lưu ý rằng phép đo là một phần - nó không cung cấp cho bạn trạng thái chính xác trừ khi đó là trạng thái cuối cùng. Bằng cách đó, bạn có thể thực hiện phép đo (một phần) sau khi áp dụng biến đổi đơn vị tương ứng với một số ký hiệu và nếu nó không sụp đổ đến trạng thái cuối cùng thì nó vẫn sẽ ở trạng thái chồng chất thích hợp, khiến khả năng nhiễu bị mở.

— funkstar

Vì vậy, để chắc chắn tôi hiểu: 1.) - Đọc đầu tiên

: Từ chối chuỗi có xác suất

a

$a$

, nếu không, trạng thái có thể ở

hoặc

và chồng chập xuống

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

q_{0}

$q_0$

q_{1}

$q_1$

. . 2) - Đối với phần thứ hai

Tôi là một chút không chắc chắn: Kể từ khi nhà nước có thể ở một trong hai

hay

, cả hai quy tắc được áp dụng cho chồng hiện tại tôi sẽ giả định như sau:

\frac{1}{2} | q_{0} ⟩ + \frac{1}{2} | q_{1} ⟩

$\frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle$

a

$a$

| q_{0} ⟩

$|q_0\rangle$

| q_{1} ⟩

$|q_1\rangle$

— Vincent Russo

(\frac{1}{2} ⟨ q_{0} | + \frac{1}{2} ⟨ q_{1} |) (\frac{1}{2} | q_{0} ⟩ + \frac{1}{2} | q_{1} ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} | q_{r e j} ⟩) ((\frac{1}{2} | q_{0} ⟩ + \frac{1}{2} | q_{1} ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} | q_{r e j} ⟩))

$(\frac{1}{2}\langle q_0| + \frac{1}{2}\langle q_1|) (\frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle + \frac{1}{\sqrt 2}|q_{rej}\rangle) ((\frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle - \frac{1}{\sqrt 2}|q_{rej}\rangle))$

= (\frac{1}{4} ⟨ q_{0} | q_{0} ⟩ + \frac{1}{4} ⟨ q_{1} | q_{1} ⟩) (\frac{1}{2} | q_{0} ⟩ + \frac{1}{2} | q_{1} ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} | q_{r e j} ⟩)

$= (\frac{1}{4}\langle q_0 | q_0 \rangle + \frac{1}{4} \langle q_1 | q_1 \rangle) (\frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle - \frac{1}{\sqrt 2}|q_{rej}\rangle)$

= \frac{1}{8} | q_{0} ⟩ + \frac{1}{8} | q_{1} ⟩

$= \frac{1}{8}|q_0\rangle + \frac{1}{8}|q_1\rangle$

— Vincent Russo

Câu trả lời:

Chắc chắn, automata thực hiện phép đo sau khi đọc từng ký hiệu "a" và áp dụng một đơn vị liên kết . Tuy nhiên, nó không thực sự có ý nghĩa khi tính toán biên độ của trạng thái được đo qua và và đặt chúng trên sơ đồ, cho automata không Neot đo máy chiếu và $V_a$ $|q_{0}⟩$ $|q_{1}⟩$ $|q_{0}⟩\langle q_{0}|$ $|q_{1}⟩\langle q_{1}|$ . Nói cách khác, con số này không đại diện cho xác suất, chúng không tương ứng với kết quả của phép đo được thực hiện. Do đó, việc dán nhãn các mũi tên của sơ đồ với các số này sẽ cho một minh họa có khả năng gây hiểu lầm về cách thức hoạt động của quá trình đo.

$a$ $V_a$

{| q_{0} ⟩, | q_{1} ⟩, | q_{a c c} ⟩, | q_{r e j} ⟩}

$\{|q_0⟩,|q_1⟩,|q_{acc}⟩,|q_{rej}⟩\}$

$P_{acc}=|q_{acc}⟩\langle q_{acc}|$
$P_{rej}=|q_{rej}⟩\langle q_{rej}|$
$P_{non}= |q_{0}⟩\langle q_{0}|+|q_{1}⟩\langle q_{1}|$

Nói cách khác, phép đo có ba kết quả có thể xảy ra: ( acc ) automata đo trạng thái chấp nhận và dừng lại; ( rej ) automata đo trạng thái từ chối và dừng lại; ( không ) tự động hóa đo lường một cái gì đó khác, không dừng lại và đọc biểu tượng tiếp theo (không phải là trạng thái không dừng lại).

$(|q_{0}⟩+|q_{1}⟩)/2$ $P_{non}$ $|q_{0}⟩$ $|q_{1}⟩$

Nếu tính tất cả những gì đã nói, thật dễ dàng để làm theo tính toán được đưa ra trong tài liệu tham khảo chính của bạn . Để minh họa mọi thứ đã nói, và, cho đầy đủ, tôi sẽ trích dẫn nó ở đây với một số nhận xét nhỏ (mặc dù tôi đã thêm một số sửa đổi, tôi không biết loại trích dẫn này có được chấp nhận hay không, nếu không , xin vui lòng, hãy để tôi biết hoặc tự sửa câu trả lời):

$|q_0\rangle$

$V_a$ $\frac{1}{2} |q_0\rangle+\frac{1}{2} |q_1\rangle+ \frac{1}{\sqrt{2}} |q_{rej}\rangle$ $(1/\sqrt{2})^2=1/2$ $|q_{rej}\rangle$ $1/2$ $\frac{1}{2} |q_0\rangle+\frac{1}{2} |q_1\rangle$

$\frac{1}{2} |q_0\rangle+\frac{1}{2} |q_1\rangle$ $V_a$

$V_{\$}$ $\$$ $\frac{1}{2} |q_{rej}\rangle+\frac{1}{2} |q_{acc}\rangle$ $(1/2)^2=1/4$ $q_{rej}$ $1/4$ $q_{acc}$

$1/4$ $1/2+1/4=3/4$

— Juan Bermejo Vega
nguồn

Ah câu trả lời tuyệt vời, cảm ơn bạn rất nhiều vì đã dành thời gian để viết nó ra bằng các thuật ngữ rõ ràng hơn. Ngoài ra, trên một lưu ý phụ, có cách nào rõ ràng hoặc có lẽ là tài liệu tham khảo trước đó mô tả một biểu diễn trực quan theo cách chính xác hơn và không gây hiểu lầm? Dường như có lẽ đặt ra sự tiến hóa trong một số loại cấu trúc giống như cây sẽ cho phép minh họa rõ hơn về sự phân nhánh xảy ra trong suốt quá trình thực hiện automata. Cảm ơn một lần nữa vì sự giúp đỡ của bạn.

— Vincent Russo

@VincentRusso: bạn thực sự không thể mô tả nó theo cách dựa trên cây. Điểm chính là có thể có sự giao thoa triệt tiêu giữa các biên độ trên các 'trạng thái' tự động hữu hạn khác nhau; đây là sự khác biệt chính giữa tính toán ngẫu nhiên và lượng tử. Mô tả đồ họa của máy tự động không thực sự sai lệch nếu bạn thực sự nghiêm túc rằng nó đang mô tả biên độ cho vectơ, thay vì chuyển tiếp xác suất. Tất nhiên, đối với cả hai máy tự động lượng tử hoặc ngẫu nhiên, mô hình thực sự là về các phép biến đổi tuyến tính, vì vậy bức tranh chủ yếu nằm bên cạnh điểm.

— Niel de Beaudrap

Vào đầu chương 6 của Kaye, Laflamme, Mosca, có một cuộc thảo luận tốt đẹp về sự khác biệt giữa tính toán xác suất cổ điển và tính toán lượng tử; các tác giả minh họa văn bản với sơ đồ nhà nước. Họ thực sự thảo luận rằng những sơ đồ này không hoàn toàn đầy đủ để mô tả sự giao thoa lượng tử - như Niel de Beaudrap đã chỉ ra và giải thích độc đáo--. Cá nhân tôi đề nghị tài liệu tham khảo này để đọc thêm.

— Juan Bermejo Vega

Juan Bermejo Vega đã đưa ra một bản tóm tắt chính xác về những gì được nói trong bài báo gốc. Tôi sẽ cung cấp cho bạn một mô tả cấp cao hơn.

Tôi sẽ đề nghị, trong trường hợp của bạn, để tránh nghĩ về biên độ là xác suất hoàn toàn. Chúng có liên quan đến xác suất, nhưng điều này không đặc biệt hữu ích để suy nghĩ về các automata hữu hạn này. Tôi nghi ngờ rằng mọi thứ sẽ rõ ràng hơn nhiều nếu bạn nghĩ rằng đây là một công thức hơi trừu tượng để chuyển đổi các vectơ có giá trị phức tạp thay thế.

Những vectơ nào chúng ta đang chuyển đổi? Vâng: giả sử bạn có một máy tự động hữu hạn với n trạng thái. Máy tự động đại diện cho một mô hình (có, xác suất) để chuyển đổi các vectơ, mà tại bất kỳ thời điểm nào cũng có thể đưa ra quyết định chấp nhận hoặc từ chối.

$\mathcal H$ $\mathcal H$
$V_q : \mathcal H \to \mathcal H$ $V_q^\dagger V_q = I$ $V_c$ $V_c = I$ $V_\$$
1. $a$ $V_a$
2. $\mathbf v$ $u_A$ $u_R$ $|u_A|^2$ $|u_R|^2$
3. $(1 - |u_A|^2 - |u_R|^2)^{-1/2}$
4. Tiến hành cho bức thư tiếp theo.
Chúng tôi thực hiện các phép biến đổi này cho mỗi chữ cái của từ và cũng cho ký hiệu kết thúc $ mà chúng tôi thêm vào cuối.

Xác suất thời gian duy nhất có hiệu lực là với trục chấp nhận và từ chối . Mặc dù mô hình tính toán này rõ ràng được lấy cảm hứng từ automata hữu hạn, nhưng thật đơn giản để không diễn giải bất kỳ hệ số nào khác của vectơ, tại bất kỳ thời điểm nào (ngay cả khi kết thúc!), Là xác suất.

Lưu ý rằng việc chấp nhận và từ chối xác suất tại mỗi dấu thời gian là xác suất có điều kiện , nghĩa là chúng phụ thuộc vào tính toán chưa dừng lại; nếu bạn muốn tính tổng xác suất chấp nhận / từ chối, bạn có thể dễ dàng thực hiện điều này bằng cách phân phối với bước "tái chuẩn hóa" trong quá trình tiến hóa (phần mà chúng tôi nhân với giá trị căn bậc hai nghịch đảo; nhưng vẫn đặt chấp nhận / từ chối các hệ số về 0 nếu tiếp tục tính toán) và chỉ cần tổng hợp tất cả các đóng góp xác suất để chấp nhận / từ chối phát sinh trên đường đi.

— Niel de Beaudrap
nguồn

Niel, cảm ơn bạn một lần nữa cho nhận xét của bạn là tốt. Nó rất hữu ích để có được một bức tranh trực quan hơn về cách tính toán này diễn ra. Cảm ơn bạn rất nhiều vì đã dành thời gian để giải thích, bây giờ nó rõ ràng hơn nhiều đối với tôi.

— Vincent Russo

Bạn không chính xác khi cho rằng trạng thái sụp đổ hoàn toàn (về trạng thái cơ sở tính toán) sau khi đọc từng ký hiệu. Việc đo lường ở mỗi giai đoạn chỉ là một phần.

— Shitikanth
nguồn

Tôi có ấn tượng rằng vì điều này đang sử dụng mô hình "nhiều số đo" mà phép đo được thực hiện trên mỗi bước tính toán, làm sụp đổ sự chồng chất thành một giá trị xác suất xác định.

— Vincent Russo

@Vincent Russo Bạn nói đúng rằng trạng thái được đo cho mỗi ký hiệu được đọc.

— funkstar

Tôi nghĩ rằng một QFA trong đó trạng thái của máy tự động được đo sau mỗi bước sẽ hoàn toàn tương đương với Chuỗi Markov. Vậy điều gì sẽ là động lực để nghiên cứu chúng?

— Shitikanth

Tôi chỉ muốn chỉ ra lý do tại sao "mô hình tự động làm lại" của anh ấy không mô tả chính xác hệ thống QFA. Trên thực tế, điều này là do máy tự động không sụp đổ hoàn toàn trong cơ sở tính toán ở mỗi bước.

— Shitikanth

Trong mọi trường hợp, tôi nghĩ rằng câu hỏi đã được trả lời đủ rõ ràng. Chúng ta đừng bị lạc trong kỹ thuật.

— Shitikanth