Sử dụng các cấu trúc đại số trong khoa học máy tính lý thuyết

Tôi là một học viên phần mềm và tôi đang viết một cuộc khảo sát về các cấu trúc đại số cho nghiên cứu cá nhân và đang cố gắng đưa ra các ví dụ về cách các cấu trúc này được sử dụng trong khoa học máy tính lý thuyết (và ở mức độ thấp hơn, các lĩnh vực khác của khoa học máy tính) .

Theo lý thuyết nhóm, tôi đã bắt gặp các đơn âm cú pháp cho các ngôn ngữ chính thức và các dấu vết đơn và lịch sử cho tính toán song song / đồng thời.

Từ quan điểm lý thuyết vòng, tôi đã đi qua các khung làm việc để xử lý đồ thị và phân tích cú pháp dựa trên ngữ nghĩa.

Tôi vẫn chưa tìm thấy bất kỳ việc sử dụng các cấu trúc đại số từ lý thuyết mô-đun trong nghiên cứu của tôi (và muốn).

Tôi giả định rằng có nhiều ví dụ nữa và tôi chỉ không tìm đúng nơi để tìm thấy chúng.

Một số ví dụ khác về cấu trúc đại số từ các lĩnh vực được liệt kê ở trên thường được tìm thấy trong khoa học máy tính lý thuyết (và các lĩnh vực phụ khác của khoa học máy tính) là gì? Ngoài ra, những tạp chí hoặc tài nguyên nào khác mà bạn có thể đề xuất có thể bao gồm các chủ đề này?

Ấn tượng của tôi là, đại số truyền thống, quá lớn để sử dụng trong Khoa học Máy tính. Vì vậy, các nhà khoa học máy tính sử dụng các cấu trúc yếu hơn (và, do đó, tổng quát hơn) hoặc khái quát hóa các cấu trúc truyền thống để có thể phù hợp với nhu cầu của họ. Chúng tôi cũng sử dụng lý thuyết thể loại rất nhiều, mà các nhà toán học không nghĩ là một phần của đại số, nhưng chúng ta không thấy tại sao không. Chúng tôi thấy sự kết hợp của toán học truyền thống thành "đại số" và "cấu trúc liên kết" là các nhánh riêng biệt bất tiện, thậm chí vô nghĩa, bởi vì đại số nói chung là thứ nhất trong khi cấu trúc liên kết có cơ hội xử lý các khía cạnh bậc cao hơn. Vì vậy, các cấu trúc được sử dụng trong Khoa học Máy tính có đại số và cấu trúc liên kết. Trong thực tế, tôi sẽ nói rằng chúng có xu hướng thiên về cấu trúc liên kết nhiều hơn đại số. Trung tâm lý luận thành "đại số" và "logic" là một phân chia vô nghĩa khác theo quan điểm của chúng tôi, bởi vì đại số liên quan đến các tính chất phương trình trong khi logic cũng xử lý tất cả các loại tính chất khác.

Quay trở lại câu hỏi của bạn, semigroups và monoids được sử dụng khá mạnh mẽ trong lý thuyết automata. Eilenberg đã viết một bộ sưu tập gồm 2 tập , phần thứ hai gần như hoàn toàn là đại số. Tôi được cho biết rằng anh ấy đã lên kế hoạch bốn tập nhưng tuổi của anh ấy không cho phép dự án kết thúc. Jean-Eric Pin có phiên bản hiện đại hóa của rất nhiều nội dung này trong một cuốn sách trực tuyến . Automata là "mô-đun đơn hình" (còn được gọi là hành động đơn hoặc "hành động"), ở mức độ phù hợp cho Khoa học Máy tính. Mô-đun vòng truyền thống có lẽ là quá cụ thể.

Lý thuyết mạng là một lực lượng chính trong sự phát triển của ngữ nghĩa học biểu thị. Cấu trúc liên kết đã được trộn lẫn vào lý thuyết mạng khi các nhà khoa học máy tính, cùng với các nhà toán học, phát triển các mạng liên tục và sau đó khái quát chúng thành các miền . Tôi muốn nói rằng lý thuyết miền là toán học của chính các nhà khoa học máy tính, mà toán học truyền thống không có kiến ​​thức.

Đại số phổ quát được sử dụng để xác định các thông số đại số của các loại dữ liệu . Có được điều đó, các nhà khoa học máy tính ngay lập tức thấy cần phải xử lý các tính chất tổng quát hơn: phương trình có điều kiện (còn gọi là mệnh đề Sừng phương trình) và các thuộc tính logic bậc nhất, vẫn sử dụng cùng một ý tưởng của đại số phổ quát. Như bạn sẽ lưu ý, đại số bây giờ hợp nhất thành lý thuyết mô hình.

Lý thuyết phạm trù là nền tảng cho lý thuyết loại. Khi các nhà khoa học máy tính tiếp tục phát minh ra các cấu trúc mới để đối phó với các hiện tượng tính toán khác nhau, lý thuyết phạm trù là một khuôn khổ rất thoải mái để đặt tất cả những ý tưởng này. Chúng tôi cũng sử dụng các cấu trúc được kích hoạt bởi lý thuyết thể loại, vốn không tồn tại trong toán học "truyền thống", chẳng hạn như các thể loại functor. Ngoài ra, đại số trở lại thành các hình ảnh từ một điểm phân loại của quan điểm trong việc sử dụng monads và lý thuyết đại số của hiệu ứng . Coacheebras , là kép của đại số, cũng tìm thấy rất nhiều ứng dụng.

Vì vậy, có một ứng dụng rộng rãi của "đại số" trong Khoa học Máy tính, nhưng nó không phải là loại đại số được tìm thấy trong sách giáo khoa đại số truyền thống.

$a : X \rightarrow Y$$a : X \rightarrow Y$$b : Y \to Z$$ab : X \to Z$$n \times n$$m \times n$$m$$n$

Ứng dụng yêu thích mọi thời đại của tôi về lý thuyết nhóm trong TCS là Định lý Barrington. Bạn có thể tìm thấy một giải thích về định lý này trên blog phức tạp và giải trình của Barrington trong phần bình luận của bài đăng đó.

Các nhóm, vòng, trường và mô-đun có ở khắp mọi nơi trong cấu trúc liên kết tính toán. Đặc biệt là xem công trình của Carlsson và Zomorodian [ví dụ: 1 ] về tương đồng liên tục (đa chiều), tất cả là về các mô-đun được phân loại trên các miền lý tưởng chính.

Đây là một cách sử dụng rất hay, thực tế: một thuật toán để tính toán kết nối đồ thị (từ FOCS2011 ). Để tính kết nối s-> t của đồ thị, các tác giả đưa ra thuật toán gán các vectơ ngẫu nhiên với các mục được vẽ từ trường hữu hạn cho các cạnh ngoài từ s, sau đó xây dựng các vectơ tương tự cho tất cả các cạnh trong biểu đồ bằng cách lấy ngẫu nhiên kết hợp tuyến tính và cuối cùng khám phá ra kết nối bằng cách tính thứ hạng của các vectơ kết quả được gán cho các cạnh trong của t.

Lưới và các điểm cố định là nền tảng của phân tích và xác minh chương trình. Mặc dù các kết quả nâng cao từ lý thuyết mạng hiếm khi được sử dụng vì chúng tôi quan tâm đến các vấn đề thuật toán như tính toán và xấp xỉ các điểm cố định, trong khi nghiên cứu về lý thuyết mạng có một trọng tâm khác (kết nối với cấu trúc liên kết, lý thuyết đối ngẫu, v.v.). Các bài giải thích trừu tượng ban đầu sử dụng lý thuyết mạng cơ bản. Công việc của Roberto Giacobazzi và cộng tác viên của ông sử dụng kết quả cao cấp hơn.

Trong điện toán phân tán, một gia đình nổi tiếng về kết quả không thể thực hiện được sử dụng các phương pháp cấu trúc liên kết đại số (Xem công trình của Maurice Herlihy và Nir Shavit).

[Chỉnh sửa: Xem Ứng dụng của cấu trúc liên kết với khoa học máy tính .]

Đại số phổ quát là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu sự phức tạp của các vấn đề thỏa mãn ràng buộc.

Ví dụ, Giả thuyết lưỡng phân nói rằng, đại khái, một vấn đề thỏa mãn ràng buộc đối với một miền hữu hạn là NP-hoàn chỉnh hoặc có thể giải quyết được trong thời gian đa thức. Lưu ý rằng theo định lý của Ladner, có các vấn đề trong NP không thuộc P và không hoàn thành NP, trừ khi P = NP, do đó, phỏng đoán nói rằng CSP đặc biệt trong việc phân đôi mà các lớp phức tạp lớn hơn không có. Nó cũng sẽ cung cấp một số giải thích tại sao hầu hết các vấn đề chúng ta gặp phải trong thực tế có thể được phân loại thành NP-hoàn chỉnh hoặc trong P.

Dichotomies đã được chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt, ví dụ CSP miền nhị phân (Schaefer) và CSP miền ternary (Bulatov) và đồng hình hóa thành các đồ thị vô hướng (Hell và Nesetril). Nhưng trường hợp chung là khá mở. Một trong những dòng tấn công chính là thông qua đại số phổ quát. Rất đại khái (và tôi chắc chắn không phải là chuyên gia về vấn đề này!) Người ta định nghĩa tính đa hình của CSP là một hàm trên miền của CSP, điều này làm cho tất cả các ràng buộc hài lòng được thỏa mãn nếu nó được áp dụng cho từng biến. Tập hợp đa hình của CSP theo một nghĩa nào đó nắm bắt được sự phức tạp của nó. Ví dụ: nếu CSP A thừa nhận tất cả các đa hình của CSP B, thì A có thể rút ngắn thời gian đa thức thành B. Tập hợp đa hình tạo thành một đại số, có cấu trúc có vẻ hữu ích trong việc giải thuật thuật toán / hiển thị các mức giảm. Ví dụ: nếu đại số đa hình của CSP là idempotent và thừa nhận loại đơn nguyên, thì CSP là NP-đầy đủ. Idempotence là một giả định đơn giản hóa có thể được thực hiện nhiều hơn hoặc ít hơn mà không mất tính tổng quát. Cho thấy rằng một CSP có đại số là idempotent và không thừa nhận loại đơn nguyên có thể được giải trong thời gian đa thức sẽ chứng minh Giả thuyết lưỡng phân.

Xem khảo sát của Bulatov: http://www.springerlink.com/content/a553847g6h673k05/ .

Đây là hai ứng dụng từ một phần khác nhau của TCS.

Semirings được sử dụng để mô hình hóa các chú thích trong cơ sở dữ liệu (đặc biệt là các chú thích cần thiết cho xuất xứ) và thường cho các cấu trúc định giá trong sự hài lòng ràng buộc có giá trị. Trong cả hai ứng dụng này, các giá trị riêng lẻ phải được kết hợp với nhau theo cách dẫn đến cấu trúc bán kết một cách tự nhiên, với tính kết hợp và hoạt động một nửa phân phối so với các hoạt động khác. Về truy vấn của bạn về các mô-đun, nói chung, không có monoid nào có nghịch đảo trong các ứng dụng này.

• Todd J. Green, Grigoris Karvounarakis và Val Tannen. Bán kết chứng minh , PODS 2007 doi: 10.1145 / 1265530.1265535 ( in sẵn )
• Stefano Bistarelli, Ugo Montanari và Francesca Rossi. Sự hài lòng và tối ưu hóa ràng buộc dựa trên nền tảng , JACM 1997. doi: 10.1145 / 256303.256306 ( in sẵn )

Nhẫn, mô-đun và các loại đại số được sử dụng trong sửa lỗi và, nói chung hơn, lý thuyết mã hóa.

Cụ thể, có một sơ đồ sửa lỗi trừu tượng (mã đại số-hình học) nhằm khái quát mã Sậy-Solomon và mã còn lại của Trung Quốc. Lược đồ về cơ bản là đưa các thông điệp của bạn đến từ vòng R và mã hóa nó bằng cách lấy dư lượng modulo của nó nhiều lý tưởng khác nhau trong R. Theo các giả định nhất định về R, người ta có thể chứng minh rằng điều này tạo ra một mã sửa lỗi sai.

Trong thế giới giải mã danh sách, một bài báo gần đây của Guruswami đưa ra một phương pháp giải mã danh sách đại số tuyến tính gấp các mã Reed-Solomon, có một đặc tính tốt là tất cả các thông điệp ứng cử viên nằm trong một không gian con affine chiều thấp của không gian tin nhắn . Người ta có thể xây dựng các tập hợp lảng tránh không gian con , các tập hợp gần như bằng toàn bộ không gian nhưng có giao điểm nhỏ với mọi không gian con affine chiều thấp. Nếu một người hạn chế các thông báo đến từ một không gian con được đặt bên trong không gian thông báo, thì lược đồ của Guruswami đưa ra một thuật toán đảm bảo kích thước danh sách đẹp. Cho đến nay, việc xây dựng rõ ràng các bộ lảng tránh không gian con được đưa ra bởi Dvir và Lovett trong bài báo STOC sắp tới của họ, Subspace Evasive Sets và xây dựng tập hợp bằng cách lấy một loại affine cụ thể (và tự lấy sản phẩm của Cartesian).

Kiểm tra Lý thuyết Ramsey - về cơ bản là sự khái quát hóa đáng kể của nguyên tắc pigeonhole , nền tảng của rất nhiều lý thuyết tự động và ngôn ngữ chính thức (hay tôi nên nói, nguyên tắc pigeonhole là trường hợp đơn giản nhất của Lý thuyết Ramsey). Về cơ bản nó nói rằng các cấu trúc thậm chí rất rối loạn hóa ra nhất thiết phải chứa rất nhiều trật tự nếu chúng đủ lớn. Đối với một ví dụ nhỏ nằm ngoài nguyên tắc chim bồ câu, lưu ý rằng nếu bạn lấy bất kỳ sáu người nào, thì ba người trong số họ sẽ biết nhau hoặc ba người trong số họ không biết nhau.

Bài viết này trông giống như một nơi tốt đẹp để bắt đầu kết nối với khoa học máy tính, nhưng bạn có thể google để biết thêm. Nó kết hợp nhiều hơn đại số trong bản chất cơ bản của nó, nhưng có nhiều ứng dụng trong đại số và CS lý thuyết.

Và cũng kiểm tra câu chuyện của nhà phát minh, Frank Ramsey - thực sự là một người đa tài đáng chú ý, người đã đóng góp cơ bản, thậm chí mang tính cách mạng trong kinh tế và triết học cũng như toán học, nhiều người không được đánh giá cao cho đến sau này, tất cả trước khi chết ở tuổi 26 - chỉ nghĩ! Trên thực tế, định lý ban đầu của Ramsey, cơ sở của Lý thuyết Ramsey, chỉ là một bổ đề trong một bài báo với mục tiêu lớn hơn trong logic toán học.

Phân tích bất kỳ vấn đề với nhiều đối xứng được tạo điều kiện bằng cách sử dụng lý thuyết nhóm. Một ví dụ sẽ là tìm các thuật toán cho những thứ như khối rubic. Mặc dù tôi không biết chi tiết, nhưng tôi chắc chắn rằng việc chứng minh rằng số Chúa là 20 yêu cầu một số cách cắt tỉa theo lý thuyết nhóm nghiêm túc. Trong một bối cảnh khác, các bộ giải thực tế cho bài toán đẳng cấu đồ thị như nauty sử dụng nhóm tự động hóa của đồ thị.

$\mathbb{Z}_p$

Trong lập trình chức năng, các khái niệm trừu tượng và thanh lịch nhất cho các vấn đề thường là đại số (hoặc lý thuyết phạm trù) trong tự nhiên: monoids, semirings , functor, monads, F-algebras, F-thangebras, v.v. bổ đề) xảy ra để có nội dung tính toán và tiện ích.

Ngoài ra, có lý thuyết loại đồng luân, giải thích lý thuyết loại trong (sắp xếp) một thiết lập tô pô đại số.

Gần đây, chúng tôi khám phá (xem bài viết của chúng tôi trên springerlink: Một sự thống nhất dựa trên chuỗi chính thức của các phương pháp khai thác vật phẩm thường xuyên ) một nỗ lực thống nhất để khai thác mô hình (một ví dụ phổ biến về khai thác dữ liệu) bằng phương pháp của chuỗi chính thức và tự động có trọng số. Các công cụ này dựa trên ánh xạ giữa các cấu trúc đơn và cấu trúc.