Tăng cường của Subodularity

13

Hàm tập hợp là mô đun con đơn điệu nếu với tất cả , $f$ $A,B$

f (Một) + f (B) \geq f (Một \cup B) + f (Một \cap B) .

$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$

Một tài sản mạnh là Lấy

\begin{matrix} f (Một) + f (B) + f (C) + f (Một \cup B \cup C) \geq \\ f (Một \cup B) + f (B \cup C) + f (Một \cup C) + f (Một \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$

, tính chất này bao hàm mô đun đơn điệu.

C = A \cup B

$C = A\cup B$

Là tài sản này được biết đến?

Lý lịch

Khách sạn này xuất hiện trong khi cố gắng mô tả các chức năng bảo hiểm. Đưa ra một số vũ trụ trọng (tất cả trọng lượng là không âm) và một gia đình của tập con của , chức năng phủ sóng được định nghĩa cho là tổng trọng lượng của các yếu tố bao phủ bởi bộ trong . Hàm luôn luôn đơn điệu và mô đun con. Chuyện ngược lại không đúng. $U$ $X$ $U$ $f(S)$ $S \subseteq X$ $S$ $f$

Thuộc tính trong câu hỏi ngụ ý rằng là một hàm bảo hiểm trong trường hợp . Tương tự, các thuộc tính phức tạp hơn làm việc cho lớn hơn . Tất cả các thuộc tính này được thỏa mãn bởi các chức năng bao phủ, vì vậy đây là một đặc tính hoàn chỉnh. $f$ $|X| = 3$ $X$

ds.algorithms approximation-algorithms submodularity

— Yuval Filmus
nguồn

13

Có một đặc tính hoàn chỉnh của các hàm bao phủ theo các phương trình như vậy. Với | X |> 3 có nhiều phương trình hơn các phương trình đã chỉ. Mỗi phương trình này có thể được coi là một ràng buộc đối với đạo hàm rời rạc . $k^{th}$

Hàm tăng đơn điệu khi và chỉ khi đạo hàm bậc nhất rời rạc là + ve. tức là khi . $f(B)-f(A)\ge 0$ $A\subseteq B$

Submodularity khi và chỉ khi đạo hàm thứ hai rời rạc là -ve. tức là . $(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

Tương tự như vậy nếu bạn có điều kiện trên đạo hàm tiếp theo, bạn có các hàm bảo hiểm. (Tôi nghĩ rằng các dấu hiệu cần phải là + ve đối với đạo hàm bậc và -ve cho đạo hàm bậc lẻ) $n$

Một cái gì đó tương tự đã được biết đến trong xác suất. Hàm bảo hiểm cũng có thể được coi là thước đo xác suất (tối đa hằng số tỷ lệ). Tài liệu tham khảo duy nhất tôi có thể khai thác là trang 439 từ cuốn sách của Feller về xác suất.

— Bệnh viện Ashwinkumar
nguồn

f (A \cup {x}) \geq f (A)

$f(A \cup \{x\}) \geq f(A)$

f (A \cup {x}) + f (A \cup {y}) \geq f (A \cup {x, y}) + f (A)

$f(A \cup \{x\}) + f(A \cup \{y\}) \geq f(A \cup \{x,y\}) + f(A)$

A, B

$A,B$

7

\begin{matrix} f (Một \cap B) + f (Một \cap C) + f (B \cap C) + f ((Một \cap B) \cup (Một \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f (Một \cap (B \cup C)) + f (B \cap (Một \cup C)) + f (C \cap (Một \cup B)) + f (Một \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$ Điều kiện "tổng hợp" được đề cập trong bài báo "Một đặc tính của hình nón của các hàm giả-boolean thông qua các bất đẳng thức kiểu siêu mẫu" của Cramma, Hammer và Holtzman (bất đẳng thức (4)), là một phần của bộ sưu tập hiếm "Phương pháp định lượng ở den Wirtschaftswissenschaften ". Điều kiện này nên giống như của tôi.

\begin{matrix} f (Một) + f (B) + f (C) + f (Một \cap B \cap C) \geq \\ f (Một \cup B \cup C) + f (Một \cap B) + f (Một \cap C) + f (B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$

C = \emptyset

$C = \varnothing$

— Yuval Filmus
nguồn