Vấn đề Clique trên đồ thị cố định

Như chúng ta đã biết, hàm -clique C L I Q U E ( n , k ) lấy một sơ đồ con ( bao trùm ) G ⊆ K n của một đồ thị n -vertex hoàn chỉnh K n và xuất ra 1 iff G chứa một k -clique . Các biến trong trường hợp này tương ứng với các cạnh của K n . Người ta biết (Razborov, Alon-Boppana) rằng, với giá 3 ≤ k ≤ n /$k$$CLIQUE(n,k)$$G\subseteq K_n$$n$$K_n$$1$$G$$k$$K_n$$3\leq k\leq n/2$, hàm này yêu cầu các mạch đơn điệu có kích thước khoảng . $n^k$

Nhưng nếu chúng ta lấy một cố định đồ thị , và xem xét các đơn điệu Hàm boolean C L I Q U E ( G , k ) , trong đó có một tập hợp con S ⊆ [ n ] các đỉnh, và đầu ra 1 khi và chỉ khi một số k đỉnh trong S tạo thành một bè lũ trong G . Biến trong trường hợp này tương ứng với đỉnh của K n , và các chức năng mới chỉ là chức năng bè lũ chuẩn nhưng giới hạn trong spanning$G\subseteq K_n$$CLIQUE(G,k)$$S\subseteq [n]$$1$$k$$S$$G$$K_n$đồ thị con của một cố định đồ thị .$G$

1. Có tồn tại đồ thị -vertex G mà C L I Q U E ( G , k ) yêu cầu các mạch đơn điệu có kích thước lớn hơn n O ( log n ) không? Tôi đoán - KHÔNG. $n$$G$$CLIQUE(G,k)$$n^{O(\log n)}$

2. Là là một vấn đề NP-khó khăn cho một số chuỗi các đồ thị ( G n : n = 1 , 2 ... ) ? Tôi đoán - KHÔNG. $CLIQUE(G_n,k)$$(G_n\colon n=1,2\ldots)$

Lưu ý rằng nếu đều bè phái tối đa trong G , sau đó C L I Q U E ( G , k ) có thể được tính như một OR của r threshold- k chức năng, các i -thứ trong đó kiểm tra liệu | S a ∩ C i | ≥ k . Như vậy, nếu r = p o l y ( n $C_1,\ldots,C_r$$G$$CLIQUE(G,k)$$r$$k$$i$$|S_a\cap C_i|\geq k$$r=poly(n)$, sau đó toàn bộ mạch có kích thước đa thức. Nhưng những gì về đồ thị với một số mũ tối đa theo cấp số nhân? (Một cụm là tối đa, không có đỉnh nào có thể được thêm vào nó.)

Có thể "nhúng" vào C L I Q U E ( H , k ) cho một đồ thị cụ thể H trên các đỉnh n = 2 m . Cụ thể, Bollobas và Thomason (1981) đã chỉ ra rằng, nếu H là đồ thị Hadamard có các đỉnh là tập con của [ m ] , và hai đỉnh u và v liền kề nhau $CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$H$$n=2^m$$H$$[m]$$u$$v$là chẵn, sau đó H chứa một bản sao đẳng cấu của mọi đồ thị G trên m đỉnh. Thực tế này có thể được kết hợp với Razborov Nams giới hạn dưới (khoảng m k ) cho C L I Q U E ( m , k ) để kết luận rằng C L I Q U E ( H , k ) yêu cầu các mạch đơn sắc có kích thước khoảng m k ? Một vấn đề tiềm ẩn ở đây là, mặc dù đồ thị$|u\cap v|$$H$$G$$m$$m^k$$CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$m^k$$H$"Chứa" tất cả các đồ thị -vertex, các đồ thị này không nằm trên cùng một tập hợp các đỉnh. Và lập luận của Razborov yêu cầu rằng các đầu vào tích cực và tiêu cực ( k -cliqu và bổ sung của các đồ thị hoàn chỉnh ( k - 1 ) ) là các biểu đồ trên cùng một tập hợp các đỉnh. Hơn nữa, tất cả các đầu vào tích cực ( k -cliques) chỉ là bản sao đẳng cấu của một và cùng một k -clique cố định .$m$$k$$(k-1)$$k$ $k$

3. Có ý kiến ​​gì không? Có ai nhìn thấy loại vấn đề như vậy đang được xem xét? Ý tôi là, các vấn đề quyết định cho đồ thị con của đồ thị cố định . Hoặc, giả sử, vấn đề SAT cho các CNF phụ của một CNF cố định (thỏa đáng) (thu được bằng cách loại bỏ một số chữ)?

Động lực: Các vấn đề thuộc loại này có liên quan đến sự phức tạp của các thuật toán tối ưu hóa tổ hợp. Nhưng họ có vẻ thú vị trong chính họ. Tại sao chúng ta nên tìm kiếm các thuật toán hiệu quả trên tất cả các biểu đồ? Trong thực tế, chúng ta thường quan tâm đến các thuộc tính của các mảnh nhỏ của một biểu đồ (lớn) (mạng lưới đường phố trong một quốc gia hoặc facebook hoặc tương tự).

Ghi chú 1: Nếu đồ thị là song phương , thì ma trận liên thuộc đỉnh-cạnh của sự bất bình đẳng x u + x v ≤ 1 cho tất cả ( u , v ) ∉ E là hoàn toàn unimodular, và một có thể giải quyết vấn đề clique trên các sơ đồ con cảm ứng của G thông qua lập trình tuyến tính. Do đó, đối với đồ thị lưỡng cực G , C L I Q U E ( G , $G=(L\cup R,E)$$x_u+x_v\leq 1$$(u,v)\not\in E$$G$$G$ cómột mạch nhỏ (mặc dù không đơn điệu). $CLIQUE(G,k)$

Lưu ý 2: Một dấu hiệu cho thấy, trong trường hợp đồ thị lưỡng cực , câu trả lời cho Câu hỏi 1 "nên" thực sự là KHÔNG là trò chơi Karchmer-Wigderson đơn điệu sau đây trên G chỉ cần các bit giao tiếp O ( log n ) . Hãy k là số lượng lớn nhất các đỉnh trong một đồ thị con song phương hoàn chỉnh của G . Alice được một tập Một nút màu đỏ, Bob một tập B các nút màu xanh như vậy | Một | + | B | > k . Mục tiêu là tìm một điểm không cạnh giữa $G$$G$$O(\log n)$$k$$G$$A$$B$$|A|+|B|>k$$A$và .$B$

$G$$k$$k$$n^{\Omega(k)}$

Bạn có thể tìm thấy độ phức tạp theo thông số của Quy trình tìm kiếm DPLL tại liên kết này .

Tôi tin rằng bài viết này có thể trả lời câu hỏi của bạn: http://arxiv.org/abs/1204.6484

Bài viết định nghĩa các họ của các bài toán NPS 3SAT cứng, sao cho cấu trúc của công thức được cố định cho mọi n và đầu vào là cực tính của công thức.

Sử dụng mức giảm tiêu chuẩn từ 3SAT xuống CLIITE (mỗi mệnh đề 3CNF xác định một bộ 8 phép gán có thể (hoặc 7 phép gán thỏa mãn), với các cạnh giữa các phép gán không xung đột), có một biểu đồ sao cho sau khi xóa một đỉnh cho mỗi mệnh đề, đó là NP khó tìm được cụm tối đa (hoặc thậm chí gần đúng kích thước của nó, sử dụng các sản phẩm đồ thị hoặc các sản phẩm đồ thị bị khử)

Lần thứ 3, có một số công việc thực nghiệm về "xương sống" và "hậu phương" có thể của các vấn đề SAT. xương sống là tập hợp các chữ đúng trong mọi nhiệm vụ thỏa mãn. Một cửa hậu vào một vấn đề SAT là một tập hợp các biến số (hy vọng nhỏ) cung cấp một đoạn cắt ngắn trực tiếp để giải quyết vấn đề. hai cấu trúc này có thể sẽ hữu ích và / hoặc chính trong việc hiểu những gì bạn gọi là "CNF phụ" hoặc CNF với một số biến bị loại bỏ. nhưng cũng là DP, thuật toán davis putnam có thể được xem là khám phá một cách có hệ thống nhiều "tiểu CNF" của CNF để giải quyết nó.

[1] Xương sống và Backreen trong sự hài lòng của Kilby et al