Câu trả lời:
Một tuyên bố có lẽ tổng quát hơn (với một bằng chứng dễ hiểu) là vấn đề sau đã hoàn thành NP:
Dữ liệu vào: Một đồ thị G, 3 màu của G, một số nguyên k.
Câu hỏi: G có tập hợp kích thước k độc lập không?
Điều này có thể được chứng minh bằng cách giảm từ Bộ độc lập. Quan sát rằng nếu chúng ta lấy đồ thị G, chọn một số cạnh và chia nhỏ nó hai lần (nghĩa là thay thế cạnh {u, v} bằng một đường dẫn u, x, y, v trong đó x và y có độ hai) thì số độc lập của G tăng chính xác một. (Bạn có thể thêm chính xác một trong số x hoặc y vào bất kỳ tập hợp nào độc lập trong G và ngược lại cũng không khó.) Vì vậy, câu hỏi nếu đồ thị G có m cạnh có một tập kích thước k độc lập, tương đương với câu hỏi cho dù G ', là kết quả của việc chia tất cả các cạnh trong G hai lần, có một bộ kích thước độc lập k + m. Nhưng lưu ý rằng thật dễ dàng để có được 3 màu G ', bằng cách phân chia G' thành ba bộ độc lập như sau: một chứa các đỉnh cũng nằm trong G và hai lớp còn lại chứa chính xác một trong hai " bộ chia " các đỉnh cho mỗi cạnh. Do đó, quy trình này xây dựng một biểu đồ G 'với 3 màu của nó, sao cho việc tính toán số độc lập của nó cung cấp cho bạn số độc lập của biểu đồ gốc G.
Giả sử tham chiếu "Các vấn đề hoàn thành NP trên đồ thị phẳng 3 mặt được kết nối và các ứng dụng của chúng" của Uehara (một bài báo mà tôi chưa từng thấy) chứng minh rằng tập độc lập là NP hoàn chỉnh ngay cả đối với các đồ thị phẳng không có tam giác. Nhưng theo định lý của Grötzsch, chúng luôn có 3 màu và việc kiểm tra số lượng màu nhỏ hơn 3 là dễ dàng trong bất kỳ biểu đồ nào, vì vậy chúng có thể được tô màu tối ưu trong P.
Biểu đồ hình tròn có thuộc tính ngược lại: đối với chúng, tô màu là NP hoàn chỉnh nhưng vấn đề thiết lập độc lập là dễ dàng.
Đây không phải là một câu trả lời mới mà là một sự làm rõ tài liệu tham khảo đầu tiên và dễ dàng đạt được về độ cứng của ĐỘC LẬP trong đồ thị phẳng không có hình tam giác: Ghi chú của Owen Murphy, Tính toán các tập độc lập trong đồ thị với độ lớn , Toán học ứng dụng rời rạc 35 (1992) 167-170 chứng minh rằng
Việc giảm được chỉ ra bởi @BartJansen là một trường hợp đặc biệt trong chứng minh của Murphy về định lý của anh ta.
Đối với thuộc tính ngược lại, biểu đồ đường dường như tự nhiên hơn biểu đồ vòng tròn như được giải quyết bởi @DavidEppstein. Đối với biểu đồ đường, MÀU SẮC là NP-đầy đủ nhưng THIẾT BỊ ĐỘC LẬP rất dễ dàng.