Hình ảnh hình học đằng sau các bộ mở rộng lượng tử

(cũng hỏi ở đây , không trả lời)

$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$ bởi Harrow và Thấp.

Câu hỏi của tôi là - các bộ mở rộng lượng tử có thừa nhận bất kỳ loại giải thích hình học nào tương tự như các bộ mở rộng cổ điển (trong đó khoảng cách quang phổ / mở rộng của đồ thị bên dưới) không? Tôi không định nghĩa "hiện thực hình học" một cách chính thức, nhưng về mặt khái niệm, người ta có thể hy vọng rằng tiêu chí quang phổ thuần túy có thể được dịch sang một số hình ảnh hình học (trong trường hợp cổ điển, là nguồn của sự phong phú toán học được các nhà mở rộng yêu thích; cấu trúc toán học lượng tử mở rộng dường như bị hạn chế hơn nhiều).$\sim$

[Câu trả lời này được sao chép từ câu trả lời của tôi trên trang web stackexchange không còn tồn tại.] Đối với các bộ mở rộng cổ điển, định nghĩa phổ có thể được biểu thị theo giá trị riêng nhỏ thứ hai của đồ thị Laplacian, có thể được coi là tối thiểu một hình thức bậc hai trên tất cả các vectơ đơn vị trực giao với vectơ tất cả. Nếu chúng ta hạn chế tối thiểu hóa này thành các vectơ có dạng (a, a, ..., a, b, b, ..b), thì điều này mang lại sự mở rộng cạnh của đồ thị. đây là một cuộc thảo luận Sự tương đương thô của hai định nghĩa này được gọi là bất đẳng thức của Cheeger .

Điều này cho thấy rằng đối với trường hợp lượng tử, chúng ta nên xem xét hoạt động của kênh (được hình thành bằng cách áp dụng một đơn vị ngẫu nhiên từ thiết bị mở rộng) trên máy chiếu. Một kết quả tương tự với bất đẳng thức của Cheeger được lấy trong Phụ lục A của arXiv: 0706.0556 .

Mặt khác, trong khi điều này tương tự về mặt toán học, chúng ta vẫn biết ít ứng dụng của các bộ mở rộng lượng tử hơn so với các bộ mở rộng cổ điển.