Sự quyết định của mê cung fractal

Một mê cung fractal là một mê cung chứa bản sao của chính nó. Ví dụ, bài sau của Mark JP Wolf từ bài viết này :

Bắt đầu tại MINUS và tìm đường đến PLUS. Khi bạn nhập một bản sao nhỏ hơn của mê cung, hãy nhớ ghi lại tên chữ cái của bản sao đó, vì bạn sẽ phải để bản sao này trên đường ra. Bạn phải thoát ra khỏi mỗi bản sao mê cung mà bạn đã nhập vào, để lại theo thứ tự ngược lại mà bạn đã nhập chúng (ví dụ: nhập A, nhập B, nhập C, thoát C, thoát B, thoát A). Hãy nghĩ về nó như một loạt các hộp lồng nhau. Nếu không có lối thoát nào rời khỏi bản sao lồng nhau, bạn đã đi đến ngõ cụt. Màu sắc đã được thêm vào để làm cho các con đường rõ ràng hơn, nhưng nó chỉ là trang trí.

Nếu một giải pháp tồn tại, chiều rộng tìm kiếm đầu tiên nên tìm một giải pháp. Tuy nhiên, giả sử không có giải pháp cho mê cung - thì chương trình tìm kiếm của chúng tôi sẽ chạy mãi mãi ngày càng sâu hơn.

Câu hỏi của tôi là: đưa ra một mê cung fractal, làm thế nào chúng ta có thể xác định nếu nó có một giải pháp hay không?

Hoặc cách khác, đối với một mê cung fractal có kích thước nhất định (số lượng đầu vào / đầu ra trên mỗi bản sao), có giới hạn về độ dài của giải pháp ngắn nhất không? (nếu có một ràng buộc như vậy, chúng ta chỉ có thể tìm kiếm sâu đến mức đó)

Một thuật toán không chính thức nhanh chóng để chứng minh rằng vấn đề là có thể quyết định:

• giả sử có Đầu vào / Đầu ra I 1 , . . . Tôi n ;$n$$I_1,...I_n$
• xây dựng đồ thị trong đó mỗi I i , M I N U S và P L U S là các nút và thay thế mỗi mê cung M j lồng nhau bằng một sơ đồ con K n (đồ thị hoàn chỉnh); thêm các cạnh giữa I i , M I N U S , P L U S , M j I k theo mê cung; giữ "bên ngoài" M j I i → M $G$$I_i$$MINUS$$PLUS$$Mj$$K_n$$I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$ cạnh khác biệt với các cạnh "bên trong" tương ứngIi→IkcủaMjlà một sơ đồ hoàn chỉnh;$Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$$I_i \rightarrow I_k$$Mj$
• liệt kê tất cả các đường dẫn từ MINUS đến PLUS trong (tránh chu kỳ);$G$
• nếu bạn tìm thấy một đường dẫn không đi qua một bản sao lồng nhau, thì đó là một giải pháp; mặt khác mở rộng từng đường ngang "bên trong" của mê cung lồng nhau của mỗi đường dẫn:$Mj$

Giả sử rằng một đường dẫn trong phép liệt kê đầu tiên là , thì đường dẫn là một giải pháp hợp lệ nếu có một đường dẫn từ I i → I j và từ I k → I h trong mê cung ban đầu (đồ thị G ).$MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$$I_i \rightarrow I_j$$I_k \rightarrow I_h$$G$

$A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$$B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$$I_i$$I_k$$I_k$$I_h$$G$

$I_i$$I_k$$... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$$M$$n^2$

$I_i$

Đây không phải là "câu trả lời" cho câu hỏi của tôi, mà là một nhận xét mở rộng mà mọi người ở đây có thể thấy thú vị.

Tôi khẳng định rằng có một định nghĩa "kiểu phân tích" tự nhiên về mê cung và giải pháp, và nó khác với định nghĩa lý thuyết khoa học máy tính / đồ thị mà chúng ta đã sử dụng ở đây. Cụ thể, bạn có thể có một mê cung fractal có "giải pháp" theo định nghĩa phân tích, nhưng sẽ được tuyên bố không thể giải quyết bằng thuật toán của Marizio De Biasi và kỹ thuật tự động đẩy xuống của Peter Shor.

$M$$M \subset \mathbb{R}^2$$s,e \in M$$f:[0,T] \rightarrow M$$f(0)=s$$f(T)=e$

Bây giờ hãy xem xét đường cong Hilbert :

Người ta có thể giải thích đường cong này là một "mê cung fractal" với sơ đồ sau:

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

Bây giờ bạn có thể lập luận rằng đây không phải là tinh thần của các mê cung fractal vì đường cong Hilbert lấp đầy toàn bộ hình vuông và do đó bạn chỉ có thể vẽ một đoạn thẳng từ đầu đến cuối. Sự phản đối này dễ dàng bị ghi đè mặc dù - chỉ cần sử dụng biểu đồ đường cong hilbert nhúng trực tiếp, như được hiển thị ở đây:

Điều này cũng chứa một chuỗi các đường liên tục hội tụ đồng đều đi từ đầu đến cuối, bởi cùng một đối số được sử dụng để hiển thị sự hội tụ thống nhất của đường cong Hilbert. Tuy nhiên, đó là một "mê cung fractal" thực sự theo nghĩa là nó không lấp đầy toàn bộ không gian.

Do đó, chúng ta có một mê cung fractal có thể giải được bằng định nghĩa phân tích, nhưng không thể giải được bằng định nghĩa lý thuyết đồ thị ..!?

Dù sao, tôi khá chắc chắn logic của tôi là đúng, nhưng nó có vẻ phản trực giác nên nếu ai đó có thể làm sáng tỏ điều này tôi sẽ đánh giá cao nó.