Kích thước VC của hình cầu trong 3 chiều

Tôi đang tìm kiếm kích thước VC của hệ thống thiết lập sau.

Vũ trụ sao cho . Trong hệ thống tập hợp mỗi bộ tương ứng với một hình cầu trong sao cho tập hợp chứa một phần tử trong khi và chỉ khi hình cầu tương ứng chứa nó trong .U ⊆ R 3 R S ∈ R R 3 S U R$U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

Chi tiết mà tôi đã biết.

1. Kích thước VC là ít nhất 4. Điều này là do nếu là 4 góc của một tứ diện thì nó có thể bị phá vỡ bởi$p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. Kích thước VC tối đa là 5. Điều này là do hệ thống thiết lập có thể được nhúng trong với các hình cầu trong tương ứng với hyperplanes trong . Được biết, hyperplanes trong có kích thước VC .R 3 R 4 R d d+$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

Đây là một lập luận dễ dàng:

Giả sử có một tập hợp gồm 5 điểm có thể bị phá vỡ bởi các quả bóng. Vì vậy, đối với bất kỳ bộ , tồn tại một bóng st và một quả bóng st . Do đó, không chứa điểm của . Nếu , và có thể được phân tách bằng một mặt phẳng. Mặt khác, giao điểm của các bề mặt của và là một đường tròn. Chiếc máy bay, trong đó những lời dối trá vòng tròn tách từ . Do đó,$U$$S \subseteq U$$B$$B \cap U = S$$B'$$B' \cap U = U \setminus S$$B \cap B'$$U$$B \cap B' = \emptyset$$B$$B'$$B$$B'$$S$$U \setminus S$$U$ có thể bị phá vỡ bởi một nửa không gian, một mâu thuẫn.

Lập luận tương tự ở chiều cao hơn cho thấy rằng kích thước VC của các quả bóng bằng với kích thước VC của các nửa không gian.

Giải pháp của tôi là không chính xác. Xem câu trả lời khác ...