Làm thế nào để tính toán sức mạnh của ma trận vuông?

Giả sử chúng ta được cung cấp một ma trận và để . Chúng ta có thể tính công suất của ma trận đó nhanh đến mức nào?$A \in \mathbb R^{N\times N}$$m \in \mathbb N_0$$A^m$

Điều tốt nhất tiếp theo so với các sản phẩm tính toán là sử dụng phép lũy thừa nhanh, đòi hỏi các sản phẩm ma trận .$m$$\mathcal O(\log m )$

Đối với các ma trận chéo, có thể sử dụng phép phân tách eigenvalue. Đó là sự khái quát hóa tự nhiên, phân rã Jordan, không ổn định theo pertubation và do đó không được tính (afaik).

Ma trận lũy thừa trong trường hợp chung có thể được tăng tốc?

Số mũ nhanh cho thấy một biến thể của câu hỏi này cũng hữu ích:

Bình phương của ma trận tổng quát có thể được tính nhanh hơn các thuật toán nhân ma trận đã biết không?$A$

Như bạn lưu ý, máy tính có thể được thực hiện trong lần số hoạt động cho phép nhân ma trận trên ma trận. Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai của bạn là không, ít nhất là đối với độ phức tạp tiệm cận - bình phương ma trận và phép nhân ma trận có độ phức tạp thời gian / số học tương đương (lên đến các yếu tố không đổi). Giảm bình phương để nhân ma trận là hiển nhiên. Để giảm nhân để bình phương, giả sử chúng ta muốn tính toán là sản phẩm của và . Hình thành ma trận với cấu trúc khối: O ( log m ) N × N A B 2 n × 2 n $A^m$$O(\log m)$$N \times N$$A$$B$$2n \times 2n$$C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

Nghĩa là, có ma trận all-zeroes trong góc phần tư phía trên bên trái và góc phần tư phía dưới bên phải. Lưu ý rằng chứa trong góc phần tư phía trên bên trái của nó.n × n C 2 A ⋅ $C$$n \times n$$C^2$$A\cdot B$