Tính toán lượng tử - Định đề của QM

Tôi mới bắt đầu (độc lập) tìm hiểu về tính toán lượng tử nói chung từ cuốn sách Nielsen-Chuang.

Tôi muốn hỏi liệu có ai có thể thử tìm thời gian để giúp tôi với những gì đang xảy ra với định đề đo lường của cơ học lượng tử không. Ý tôi là, tôi không cố gắng đặt câu hỏi về định đề; nó chỉ là tôi không nhận được như thế nào giá trị của trạng thái của hệ thống sau khi đo lường đi ra để $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ .

Mặc dù đó chỉ là những gì định đề dường như muốn nói, tôi thấy thực sự khó xử rằng tại sao nó lại là biểu hiện này. Tôi không biết những gì tôi hỏi ở đây có ý nghĩa gì không, nhưng điều này đang chứng tỏ là một điều gì đó vì lý do nào đó dường như ngăn tôi đọc thêm nữa,

Tôi không biết nếu đây là một "lời giải thích", nhưng hy vọng nó là một "mô tả" hữu ích.

Nói chung hơn các phép đo phóng xạ, người ta luôn đo một toán tử . (Máy chiếu là trường hợp đặc biệt của việc này.) Vậy "đo một toán tử" nghĩa là gì?

Vâng, các nhà khai thác thường tương ứng với số lượng vật lý 'có thể quan sát'. Ví dụ, quan trọng nhất trong cơ học lượng tử là năng lượng; nhưng người ta cũng có thể (đôi khi gián tiếp) đo các đại lượng khác, chẳng hạn như động lượng góc, thành phần z của từ trường, v.v. Những gì được đo luôn mang lại kết quả có giá trị thực --- về nguyên tắc, một số kết quả xác định (ví dụ: một electron là ở trạng thái 'spin +1/2' trái ngược với 'spin /21/2' hoặc ở mức năng lượng bị kích thích đầu tiên trái ngược với trạng thái cơ bản trong nguyên tử hydro, v.v.), mặc dù mỗi kết quả có thể xảy ra được nhận ra với một số xác suất.

Chúng tôi chỉ định từng kết quả có giá trị thực của phép đo cho không gian con. Cách chúng ta làm là mô tả một toán tử Hermiti --- tức là một toán tử liên kết một giá trị riêng thực sự với các không gian con khác nhau, với các không gian con được tổng hợp lên toàn bộ không gian Hilbert. Một máy chiếu là một toán tử như vậy, trong đó các giá trị thực là 0 và 1; tức là mô tả rằng một vectơ thuộc về một không gian con được chỉ định (mang lại giá trị là 1) hoặc tính chỉnh hình của nó (mang lại giá trị 0). Các toán tử Hermiti này có thể quan sát được và các eigenspaces là những cái mà cái quan sát có giá trị "xác định".

Nhưng còn những vectơ không phải là hàm riêng và không có giá trị "xác định" cho những vật quan sát này thì sao? Đây là phần không giải thích của mô tả: chúng tôi chiếu chúng vào một trong các không gian điện tử, để có được một hàm riêng với giá trị được xác định rõ. Phép chiếu nào chúng ta áp dụng được xác định ngẫu nhiên. Phân phối xác suất được đưa ra theo quy tắc Sinh quen thuộc:

$$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$$

nơi là chiếu vào c -eigenspace của một 'số lượng quan sát được' E (đại diện bởi một nhà điều hành Hermitian Một = Σ $\Pi_c$ ). Trạng thái sau đo làmột sốhình chiếu của trạng thái | ψ ⟩ vàomột sốeigenspace của quan sátMột. Và nếu vậy | ψ 0 ⟩ là trạng thái trước khi đo, | ψ 1 ⟩ là trạng thái hậu đo lường, và Π c là 'kết quả thực tế' đo (tức làcác eigenspace vào đó trạng thái trước đo đã thực sự dự kiến), chúng tôi có kết quả tương xứng$A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$$|\psi\rangle$$| \psi_0 \rangle$$| \psi_1 \rangle$$\Pi_c$

$$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$$

theo quy tắc chiếu vừa mô tả. Đây là lý do tại sao có máy chiếu trong công thức của bạn.

Nói chung, vectơ không phải là một véc tơ đơn vị; bởi vì chúng tôi muốn mô tả trạng thái sau đo bằng một vectơ đơn vị khác, chúng tôi phải bán lại nó bằng cách$| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

$$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$$

đó là căn bậc hai của xác suất mà kết quả sẽ xảy ra trước tiên nghiệm . Và vì vậy, chúng tôi phục hồi công thức trong câu hỏi của bạn,

$$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$$

(Nếu công thức này có vẻ hơi vụng về, hãy lưu ý rằng nó trông và cảm thấy tốt hơn một chút nếu bạn biểu thị trạng thái lượng tử bằng các toán tử mật độ.)

Chỉnh sửa để thêm: những điều trên không nên được hiểu là một mô tả về POVMs. Một "nhà điều hành tích cực có giá trị đo lường" được tốt hơn xem như mô tả giá trị kỳ vọng của nhiều thể đo lường được quan sát E _c trong một bộ sưu tập {  E _c  } _{c  ∈ C}  .

Tôi sẽ đưa ra một câu trả lời nữa cho câu hỏi của Akash Kumar, đó là (đặc biệt là đối với sinh viên) một cách tiếp cận tốt để vật lộn với những bí ẩn của cơ học lượng tử là trước hết phải vật lộn với những bí ẩn của cơ học cổ điển.

Về vấn đề này, một cuốn sách giáo khoa bắt đầu được đề xuất (có sẵn trong bìa mềm) là "Đối xứng trong cơ học: Giới thiệu hiện đại nhẹ nhàng" của Stephanie Frank, có ưu điểm là ngắn gọn và rõ ràng (bao gồm 120 vấn đề được giải quyết rõ ràng) tự tin nắm lấy những ý tưởng hiện đại chính của hình học đối xứng và lý thuyết nhóm Lie.

Vấn đề ở đây là vào đầu thế kỷ 20, cơ học lượng tử và cơ học cổ điển dường như là hai lý thuyết rất khác nhau về động lực học. Nhưng nếu chúng ta thực hiện nghiêm túc câu châm ngôn của Vladimir Arnold rằng "Cơ học Hamilton là hình học trong không gian pha; không gian pha có cấu trúc của một đa tạp đối xứng", và chúng tôi cũng rất coi trọng câu châm ngôn Ashtekar / Schilling rằng "cấu trúc tuyến tính đi đầu trong Các phương pháp điều trị trong sách giáo khoa về cơ học lượng tử, chủ yếu, chỉ là sự tiện lợi về mặt kỹ thuật và các thành phần thiết yếu --- sự đa dạng của các trạng thái, cấu trúc đối xứng và thước đo Riemannian --- không chia sẻ tuyến tính này ", sau đó chúng ta sẽ hiểu rõ hơn đánh giá cao rằng luận án năm 1996 của Troy Schilling dựa trên nền tảng toán học mạnh mẽ để khẳng định rằng "

Cách tiếp cận hình học thống nhất này đối với động lực học cổ điển / lượng tử thành công chủ yếu bằng cách làm cho cơ học cổ điển có vẻ bí ẩn hơn và cơ học lượng tử dường như ít bí ẩn hơn ... và thật tốt cho sinh viên biết rằng đây là một trong nhiều cách tiếp cận khả thi để học cả hai loại cơ khí.

Nếu bạn chưa nhìn thấy chúng, tôi đánh giá cao bài giảng của Scott Aaronson "Tính toán lượng tử kể từ khi dân chủ" , đặc biệt là bài giảng 9 . Họ thực sự đã giúp tôi như một người không chuyên gia và tôi đã cố gắng chắt lọc bài thuyết trình của anh ấy đến những điểm chính ở đây và đây .

Theo như truy vấn cụ thể của bạn, tôi nghĩ rằng nó giúp xây dựng trực giác nếu bạn có thể tính toán một số ví dụ đơn giản bằng cách sử dụng Quy tắc sinh và xem cách thức hoạt động của Định đề đo lường trong thực tế.

Tôi thấy dễ dàng nhất khi nghĩ đến "Xác suất đo lường kết quả thứ i là bình phương biên độ của phần tử thứ i của vectơ trạng thái - nếu bạn thay đổi cơ sở thành hàm riêng của Toán tử."

Điều này cũng liên kết gọn gàng với trực giác rằng cơ học lượng tử là xác suất có số phức - vì bình phương của biên độ phải tổng bằng 1.

Miễn là bạn đang học máy tính lượng tử, bạn cũng có thể muốn xem cuộc thảo luận về thuật toán của Shor này .

Phụ lục.

Sau khi xem xét lại hình thức câu hỏi của bạn ( ví dụ: M ^† M trong mẫu số --- trái ngược với một toán tử M duy nhất, đủ cho máy chiếu) và xem xét lại bản sao Ni Ni và Chaung của tôi, đây là một số chi tiết bổ sung không được bao phủ bởi câu trả lời trước của tôi. (Tôi đang đăng bài này dưới dạng câu trả lời riêng biệt do độ dài và vì tôi cảm thấy rằng đây thậm chí còn ít hơn một 'lời giải thích' so với câu trả lời trước đây của tôi.)

$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

$$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$$

Sau đó, chúng tôi đo A theo cơ sở tiêu chuẩn (để A hiện lưu kết quả đo). Điều này biến đổi trạng thái của X như sau:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

$|\psi_1\rangle$$|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

$$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$$

$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

$|1\rangle$$(\frac12,\frac12)$$(\frac34,\frac14)$$|0\rangle$$|1\rangle$

$M_c$

$$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$$

$M_c$

$$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$$

$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Nhận xét chung.

$M_c$$\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

$M_c$$E_c = M_c^\dagger M_c$

Suy nghĩ về các phép đo theo các toán tử Kraus (và về mặt 'đăng ký kết quả đo' A như trên) theo cách này cho phép bạn đưa khái niệm đo lường vào bản đồ CPTP, đó là một ý tưởng mà tôi thích. (Tuy nhiên, điều này không thực sự thay đổi mọi thứ từ quan điểm phân tích và không phải là điều bạn nên lo lắng nếu bạn chưa cảm thấy thoải mái với bản đồ CPTP).

Câu trả lời của Niel de Beaudrap liên quan đến các nhà khai thác Kraus là rất tốt. Đối với sách giáo khoa Nielsen và Chuang, điều này có nghĩa là người ta nên đọc Chương 2, rồi Chương 8, và sau đó là các chương can thiệp.

Hơn nữa, đại diện toán tử Kraus có giới hạn vô hạn gọi là toán tử Lindbladian; nói rộng ra, các toán tử Lindbladian là cho các toán tử Kraus đại số Lie là gì đối với nhóm Lie. Ghi chú trực tuyến của Carlton Cave "Bản đồ hoàn toàn tích cực, bản đồ tích cực và mẫu Lindblad" bao gồm phần lớn tài liệu này.

Lợi thế của việc làm việc độc quyền với các nhà khai thác Lindbladian vô hạn thay vì các nhà khai thác Kraus là các Lindbladian trở lại tự nhiên trên các không gian lượng tử phi Hilbert; chúng bao gồm các không gian trạng thái mạng tenor đang trở nên phổ biến trong hóa học lượng tử và vật lý vật chất ngưng tụ; hơn nữa các kỹ thuật pullback cũng có mặt khắp nơi trong lý thuyết dây.

Hiện tại không có sách giáo khoa nào phát triển mô tả hình học, không phải Hilbert này về động lực lượng tử ... nhưng nên có! Sách giáo khoa (với các tài liệu tham khảo ở trên) trong tổng hợp bao gồm các ý chính là John Lee "Smooth Manifold", Frenkel và Smit "Hiểu mô phỏng phân tử: từ thuật toán đến ứng dụng", và Kloeden và Platen "Giải pháp số của phương trình vi phân ngẫu nhiên".

Đúng là đây là rất nhiều đọc ... và đây là lý do tại sao động lực lượng tử hình học không được dạy ở cấp đại học. Điều này thật đáng tiếc, vì các sinh viên đại học quá dễ dàng có được khái niệm cố định rằng không gian trạng thái của các hệ động lực lượng tử là một không gian vectơ tuyến tính, mặc dù điều này không đúng trong hầu hết các tính toán thực tế quy mô lớn.

Đối với không gian nhà nước mà thiên nhiên sử dụng: không ai biết bằng chứng thực nghiệm cho tuyến tính lượng tử cục bộ (không gian tiếp tuyến) khá mạnh, nhưng bằng chứng về tuyến tính lượng tử toàn cầu (không gian Hilbert) khá yếu. Cụ thể, các thí nghiệm động lực học lượng tử chùm phân tử có độ chính xác cao mà nhiều sách giáo khoa đưa ra làm bằng chứng về tuyến tính lượng tử có thể được mô phỏng với độ chính xác tương đối bắt buộc là ~ 1/2 ^ {65} trên các không gian trạng thái mạng tenxơ thấp, với sự đối xứng động gần như hoàn hảo thay thế tuyến tính động gần như hoàn hảo.

Vì những lý do trên, có lẽ sinh viên thế kỷ 21 không nên chấp nhận sách giáo khoa của thế kỷ 20 hoàn toàn theo mệnh giá. Nhưng thực sự, những gì sinh viên thế kỷ 21 sẽ muốn nó theo cách nào khác?

Trên đây là cách các kỹ sư hệ thống lượng tử đã nắm bắt được một bộ công cụ toán học kết hợp tính tự nhiên hình học và đại số, và áp dụng chung cho các hệ thống động lực học cổ điển, lượng tử và lai.

---

Chỉnh sửa thêm: Như một thử nghiệm về tính khả thi của phương pháp hình học đối với mô phỏng lượng tử thực tế, Tập đoàn Kỹ thuật lượng tử (QSE) của chúng tôi đã bổ sung cho sách giáo khoa cổ điển của Charlie Slichter Nguyên tắc cộng hưởng từ với phiên bản nâng cao của Chương 3 " Vận chuyển cực rộng và phân cực từ Lưới cứng nhắc ".

Phiên âm hình học này tự nhiên chỉ ra nhiều câu hỏi mở trong động lực học hình học; xem ví dụ câu hỏi MathOverflow " Trong các mô phỏng động lực lượng tử, tương tự đối xứng (Riemannian) của khung Poisson là gì? "

Trước hết, tại sao các đài quan sát được đại diện bởi các nhà khai thác? Trong cơ học cổ điển, một quan sát là một hàm có giá trị thực trên không gian pha. Nó trích xuất thông tin về các giá trị như năng lượng hoặc động lượng từ hệ thống nhưng không ảnh hưởng hoặc can thiệp vào nó. Nếu người quan sát là một phần của hệ thống thì đo lường là một quá trình vật lý và có thể thay đổi sự tiến hóa của hệ thống. Để hữu hạn, tiến hóa thời gian không vô hạn là đơn nhất (nghĩa là bảo toàn tổng xác suất), tiến hóa thời gian vô hạn phải là Hermiti. Đây là định lý của Stone; nó giải thích tại sao các toán tử trong cơ học lượng tử là Hermiti.

$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

• $M$$\mid\psi\rangle$$M\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid$$\langle\psi\mid M^\dagger$
• $\langle\psi\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

Chà, tôi sẽ cung cấp một số tài liệu tham khảo bổ sung liên quan đến câu hỏi của Akash Kumar về các định đề lượng tử, với mục đích khuyến khích học sinh học toán mà họ cần đánh giá cao nhiều khung phát triển tốt để nghiên cứu cả động lực học cổ điển và lượng tử.

Chúng ta hãy bắt đầu khi văn bản Nielsen-Chuang rời đi, cụ thể là, với "Định lý: Tự do đơn nhất trong Đại diện Tổng điều hành" (Phần 8.2 của Nielsen-Chuang). Văn bản của Nielsen và Chuang lưu ý rằng một ứng dụng thực tế của định lý này đã xuất hiện trong lý thuyết sửa lỗi lượng tử, trong đó nó "rất quan trọng đối với sự hiểu biết tốt về sửa lỗi lượng tử". Nhưng sau đó, văn bản Nielsen-Chuang rơi vào im lặng.

Các câu trả lời được đưa ra (cho đến nay) ở đây trên Stack Exchange không giúp ích nhiều cho việc hiểu "tự do đơn nhất" này ... mà nó hóa ra là trung tâm của tất cả các khía cạnh của cơ học lượng tử liên quan đến cái mà Einstein và Bohr gọi là "spukhafte Fernwirkungen" (hành động ma quái ở khoảng cách xa) của cơ học lượng tử. Cụ thể, sự tự do đơn nhất này là chìa khóa để đọc lượng tử, sửa lỗi lượng tử và mật mã lượng tử --- ba trong số những lý do chính khiến sinh viên TCS nghiên cứu về động lực lượng tử.

Để tìm hiểu thêm, học sinh nên đọc gì? Có rất nhiều lựa chọn (và những lựa chọn khác có thể có sở thích riêng của họ), nhưng tôi sẽ đề xuất "Phương pháp thống kê trong Quang học lượng tử: Các lĩnh vực phi cổ điển" của Howard Carmichael, đặc biệt là Chương 17--19, có tiêu đề "Quỹ đạo lượng tử I- III ".

Trong ba chương này, văn bản của Carmichael thúc đẩy một cách vật lý những gì văn bản Nielsen-Chuang mã hóa thành các định đề và định lý chính thức, cụ thể là chúng tôi tự do "làm sáng tỏ" các phép đo phóng xạ (các phép đo không phóng xạ) theo nhiều cách khác nhau. Về mặt vật lý, sự tự do này đảm bảo rằng chúng ta sống trong một vũ trụ có thể phân tách nhân quả, về mặt toán học, sự tự do này là nền tảng của tất cả mật mã lượng tử và sửa lỗi.

AFACIT, chính Carmichael vào năm 1993 đã phát minh ra thuật ngữ "làm sáng tỏ" tiêu chuẩn hiện nay để mô tả sự bất biến thông tin này. Kể từ đó, văn học làm sáng tỏ đã phát triển vô cùng: một tìm kiếm toàn văn bản của máy chủ arxiv cho "lượng tử" và "làm sáng tỏ" tìm thấy 762 bản thảo; biến thể đánh vần "làm sáng tỏ" tìm thấy thêm 612 bản thảo (có thể có một số bản sao).

Tất nhiên, học các bộ công cụ toán học và các ý tưởng vật lý liên quan đến làm sáng tỏ lượng tử là rất nhiều công việc. Thật hợp lý để hỏi, những lợi ích nào sinh viên có thể mong đợi một cách hợp lý, để trả lại công việc khó khăn này? Trong câu trả lời, đây là một câu chuyện ngụ ngôn một đoạn, với đức tính chính của nó là nó ngắn hơn rất nhiều so với việc đọc hai văn bản lượng tử rất dài, khó khăn (Nielsen-Chuang và Carmichael).

Ngày xửa ngày xưa, một sinh viên ngành hình học Euclide tên Alice đã tự hỏi mình "Phép đo chiều dài Euclide thực sự hoạt động như thế nào?" Các định đề Euclide đã trả lời câu hỏi của Alice như sau: "Tất cả các phép đo chiều dài vật lý tương đương với các phép đo bằng một la bàn, có mô hình toán học là một phân đoạn của dòng số." Tuy nhiên, bằng một nỗ lực to lớn của trí tưởng tượng sáng tạo, Alice đã nghĩ ra một câu trả lời tương đương nhưng tổng quát hơn: "Tất cả các phép đo chiều dài vật lý đều tương đương với tích hợp vận tốc dọc theo các quỹ đạo, có mô hình toán học là các đường cong trên các đa tạp được trang bị các dạng đối xứng và số liệu và tiềm năng động . " Khuôn khổ phi Euclide của Alice cho động lực cổ điển là rất nhiều công việc để tìm hiểu, nhưng nó đã mở ra cho thế giới khoa học, công nghệ mới của cô,

Để làm cho điểm của câu chuyện ngụ ngôn rõ ràng, Alice chấp nhận một mô tả khác biệt về động lực cổ điển, và do đó giải thoát bản thân khỏi những ràng buộc cứng nhắc của không gian Euclide. Tương tự như vậy, các sinh viên lượng tử ngày nay có tùy chọn chấp nhận một mô tả khác biệt về động lực học làm sáng tỏ, và do đó giải phóng bản thân khỏi những ràng buộc cứng nhắc của không gian Hilbert.

Như với động lực học cổ điển phi Euclide, động lực lượng tử không phải Hilbert là rất nhiều công việc cần tìm hiểu --- hiện tại không có sách giáo khoa nào bao gồm tất cả các tài liệu cần thiết --- và cả những phi Euclide / không phải Hilbert mới này khuôn khổ năng động đang mở ra những thế giới mới rộng lớn để khám phá. Những khám phá này mở rộng từ những bí ẩn của lý thuyết dây đến những thách thức nghiệt ngã của việc viết mã mô phỏng lượng tử hiệu quả, được kiểm chứng trong hóa học và khoa học vật liệu. Rõ ràng là nghiên cứu trong bất kỳ lĩnh vực nào trong số này đã đòi hỏi sinh viên cả sự đánh giá sâu sắc hơn Euclid về động lực học cổ điển và sự đánh giá sâu sắc hơn Hilbert về động lực lượng tử.

Đó là lý do tại sao những thách thức toán học và cơ hội nghiên cứu liên quan đến cả động lực học cổ điển và lượng tử chưa bao giờ lớn hơn ở thời điểm hiện tại. Cái nào tốt!