Đếm số lượng các vùng dày chồng lên nhau một hình vuông

Gọi là một hình vuông đơn vị. Là một chức năng của , số lượng tối đa của các vùng tách rời nhau theo chiều ngang của -fat có đường kính ít nhất là 1 có thể giao nhau với bao nhiêu?$S$$\beta$$\beta$$S$

Dưới đây, chúng tôi đưa ra một con số cho thấy với , số lượng tối đa là 7. Còn đối với thì sao?$\beta=1$$\beta = 2, 3, \ldots, n$

Nhắc lại định nghĩa về chất béo cho các vùng trong mặt phẳng. Cho một khu vực , chúng ta hãy vòng tròn bán kính được vòng tròn lớn nhất chứa trong , và để cho tròn bán kính là vòng tròn nhỏ có chứa . Độ béo của được đưa ra bởi và chúng tôi nói rằng là -fat, với .$R$$C_1$$r_1$$R$$C_2$$r_2$$R$$R$$\frac{r_2}{r_1}$$R$$\beta$$\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Ví dụ, nếu , sau đó các khu vực là vòng tròn đơn vị, và có những lúc 7 vòng tròn với đường kính ít nhất 1 mà có thể chồng chéo mà không chồng chéo lẫn nhau. Trong hình bên dưới, chúng tôi đã mô tả một hình vuông đơn vị và 7 hình tròn đơn vị chồng lên hình vuông.$r_2 = r_1=\frac{1}{2}$$S$

Tôi nghĩ rằng số lượng tối đa của các vùng mỡ tách rời nhau chồng lên hình vuông sẽ liên quan chặt chẽ đến việc đóng gói vòng tròn.

Hình dạng trường hợp xấu nhất cho một khu vực là một cái gì đó giống như "quả bóng & dây chuyền". Dưới đây tôi đã mô tả một khu vực như vậy cho với đường kính 1$\beta=2$

.

và chúng có thể đóng gói trong khoảng cách 1 của hình vuông đơn vị rõ ràng chặt chẽ hơn nhiều so với tôi đã mô tả chúng.

Lưu ý rằng khu vực bóng & chuỗi thực tế được xác định bởi khu vực màu xanh lá cây và vòng tròn bên ngoài chỉ là một hướng dẫn để mô tả thực tế rằng các khu vực này có độ béo 2. Trên thực tế, phần chuỗi của khu vực, có thể "uốn cong" để cho phép nhiều khu vực được đóng gói