Các biến thể của định lý sản phẩm trực tiếp

Một định lý sản phẩm trực tiếp, một cách không chính thức, nói rằng tính toán thể hiện của hàm f khó hơn so với tính toán f một lần.$k$$f$$f$

Các định lý sản phẩm trực tiếp điển hình (ví dụ, Bổ đề XOR của Yao) xem xét độ phức tạp của trường hợp trung bình và lập luận (rất đại khái) rằng không thể được tính bằng các mạch có kích thước s với xác suất tốt hơn p , sau đó k bản sao của f không thể được tính bằng mạch có kích thước s ′ < s với xác suất tốt hơn p k .$f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

Tôi đang tìm kiếm các loại định lý sản phẩm trực tiếp khác nhau (nếu chúng được biết đến). Đặc biệt:

(1) Nói rằng chúng tôi sửa xác suất lỗi và thay vào đó quan tâm đến kích thước te của mạch cần thiết để tính k bản sao của f ? Có kết quả nào nói rằng nếu f không thể được tính bằng các mạch có kích thước s với xác suất tốt hơn p , thì k bản sao của f không thể được tính với xác suất tốt hơn p khi sử dụng mạch có kích thước nhỏ hơn O ( k ⋅ s ) ?$p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

(2) Điều gì được biết đến đối với sự phức tạp trong trường hợp xấu nhất ? Ví dụ: nếu không thể tính được (với 0 lỗi) bởi các mạch có kích thước s , chúng ta có thể nói gì về độ phức tạp của việc tính toán k bản sao của f (với lỗi 0)?$f$$s$$k$$f$

Bất kỳ tài liệu tham khảo sẽ được đánh giá cao.

(1): Câu hỏi này đã được nghiên cứu trong bài báo "Hướng tới minh định lý sản phẩm trực tiếp mạnh mẽ" bởi Ronen Shaltiel, và nó chỉ ra rằng một giả thuyết như vậy là sai: Ví dụ, nó có thể là có thể được tính với xác suất 0,99 * p với kích thước nhỏ hơn nhiều so với s và chỉ có khối lượng xác suất 0,01 ∗ p bổ sung yêu cầu kích thước s . Trong trường hợp như vậy, khi tính toán f trên k cá thể, mạch có thể giải quyết f trên hầu hết các trường hợp có kích thước nhỏ hơn nhiều so với s và sẽ chỉ cần kích thước s trong một vài trường hợp.$f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

(2): Một định lý sản phẩm trực tiếp cho độ phức tạp trong trường hợp xấu nhất được biết đến với các công thức và cho các mạch đơn điệu, nhưng thực sự được biết là sai đối với các mạch chung. Để có một ví dụ dễ dàng, hãy xem xét một hàm xem đầu vào của nó là một vectơ và nhân nó với một ma trận boolean n × n cố định . Sau đó, tính toán hàm f có thể yêu cầu kích thước n 2 , nhưng tính toán nó trên n thể hiện có thể được thực hiện nhanh hơn nhiều so với n $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$sử dụng thuật toán nhân ma trận. Bạn có thể tìm thấy một cuộc thảo luận kỹ lưỡng về chủ đề này trong cuốn sách "Sự phức tạp của các hàm Boolean" của Ingo Wegener - xem Chương 10.2 tại đây: http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Fiances/ .

Chỉ để bổ sung cho câu trả lời của Or, các câu hỏi về hương vị của (1) [cần bao nhiêu tài nguyên để làm tốt trên k bản sao] và các định lý tương ứng được gọi là "định lý tổng trực tiếp". Như với các định lý sản phẩm trực tiếp, các định lý tổng trực tiếp có thể giữ hoặc không giữ, tùy thuộc vào thiết lập.