Tìm kiếm một vấn đề tốt trong SC nhưng không phải ở hai cấp độ đầu tiên

Các vườn thú phức tạp không có nhiều về . Tôi đang tìm kiếm một vấn đề đẹp ở cấp độ cao hơn của hệ thống phân cấp, tức là một vấn đề trong nhưng không được biết là trong . $\mathsf{SC}$ $^\dagger$ $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^{O(1)} n)$ $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2n)$

Là một câu hỏi phụ, có bất kỳ lý do đã biết nào tại sao việc tìm các ví dụ về các vấn đề hay ở các cấp bậc cao hơn ( , , , , v.v.) là khó hơn cấp đầu tiên? $\mathsf{AC}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{SC}$ $\mathsf{PH}$

$\dagger$ mặc dù đẹp không phải là một thuật ngữ toán học, tôi nghĩ rằng chúng ta hiểu một cách trực giác ý nghĩa của nó, ví dụ như chấp nhận vấn đề đối với NTM là một vấn đề nhân tạo mà mọi người không quan tâm đến nó ngoài việc nó hoàn thành cho , trong khi tô màu đồ thị vấn đề rất thú vị trước khi được biết là trong / hoàn thành cho và vẫn còn thú vị ngoài lớp phức tạp mà nó thuộc về. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

cc.complexity-theory complexity-classes

— Kaveh
nguồn

(1) Vấn đề chấp nhận của NTM đối với NTM không phải là vấn đề giả tạo mà mọi người không quan tâm đến nó ngoài việc nó đã hoàn tất cho NPR: có vẻ như bạn có một vấn đề quá mức không phải ở đây.

— Tsuyoshi Ito

(2) Từ một câu hỏi phụ, có lý do nào được biết tại sao việc tìm kiếm các ví dụ về các vấn đề tốt ở các cấp bậc cao hơn (AC, NC, SC, PH, v.v.) khó hơn các cấp đầu tiên không? Lý do sâu xa hơn các cấp độ thấp hơn là đơn giản hơn và do đó có nhiều ví dụ hay trong chúng?

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi, cảm ơn, tôi đã gỡ thêm không. Khoảng 2, vâng, tôi cần một lý do sâu xa hơn cho các vấn đề tốt đẹp rơi vào mức phân cấp thấp. Tôi không thấy sự khác biệt lớn về định nghĩa giữa và nói .

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{2} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2 n)$

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{4} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^4 n)$

— Kaveh

Tất nhiên định nghĩa là như nhau. Sự khác biệt là log ^ 2 đơn giản hơn log ^ 4. Lập luận tương tự áp dụng cho việc hỏi tại sao có nhiều thuật toán chạy trong thời gian O (n ^ 2) hơn so với các thuật toán chạy trong thời gian O (n ^ 4).

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi, tôi không chắc ý của bạn là gì bởi đơn giản hơn . Câu hỏi cũng áp dụng cho .

\lg^{4}

$\lg^4$

\lg^{2}

$\lg^2$

P

$\mathsf{P}$

— Kaveh

Tôi không có đề xuất cho một vấn đề tự nhiên trong , nhưng tôi có một gợi ý cho câu hỏi phụ của bạn, tại sao lại tìm thấy một câu hỏi như vậy Vấn đề có vẻ khó khăn. Tôi nghĩ rằng điều này có liên quan đến ý tưởng dân gian mà mọi người chỉ có thể thực sự hiểu (hoặc có thể chỉ quan tâm đến? Hoặc cả hai?) Đó là một vài sự thay đổi định lượng sâu. Ví dụ, định nghĩa về giới hạn là hai số lượng tử sâu (đối với tất cả epsilon tồn tại một delta ...); định nghĩa của " " là hai bộ định lượng (tồn tại một máy sao cho tất cả các đầu vào ...) và câu lệnh " " là ba định lượng sâu. $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)}, \log^4 n)$ $L \in \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Liên quan đến , điều này phần nào được giải quyết bởi thực tế là có rất nhiều vấn đề tự nhiên là , nhiều vấn đề tự nhiên là và chỉ có một vài vấn đề tự nhiên được biết đến là (xem phần tóm tắt của Schaefer và Umans ). Các vấn đề tự nhiên nhất được biết là đã hoàn thành đối với các cấp đến từ chính logic, điều này ít gây ngạc nhiên hơn vì trong một logic nhất định, người ta thường có khái niệm " $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$ $\mathsf{\Sigma_3 P}$ $\mathsf{PH}$ $k$ -Nhiều thay đổi định lượng, "hoặc ít nhất là một cách tự nhiên để mô phỏng nó. Có lẽ chúng thuộc cùng loại với" chấp nhận vấn đề cho NTM ", mà bạn đã tuyên bố" không đủ tốt "cho câu hỏi này.

Cũng có thể đáng nói rằng điều tương tự xảy ra trong thế giới tính toán, điều này có thể gợi ý rằng nó phải làm nhiều hơn với sự hiểu biết của chúng ta về các bộ lượng tử xen kẽ và ít phức tạp hơn. Rất nhiều vấn đề tự nhiên được gọi là (tương đương với vấn đề tạm dừng) và nhiều vấn đề tự nhiên được biết là đã hoàn thành cho cấp thứ hai và thứ ba của hệ thống phân cấp số học. Nhưng khi bạn đi đến các cấp cao hơn của hệ thống phân cấp số học thì càng ít vấn đề tự nhiên được biết là hoàn thành cho các cấp độ đó. Tôi không chắc là tôi đã biết về một vấn đề tự nhiên đã hoàn tất cho và tôi chưa bao giờ nghe về một vấn đề tự nhiên nào hoàn thành cho (mặc dù có thể có). $\mathsf{\Sigma^0_1}$ $\mathsf{\Sigma^0_4}$ $\mathsf{\Sigma^0_5}$

Liên quan đến giới hạn không gian đa sắc, tôi nghĩ một lý do tương tự được áp dụng, nhưng thậm chí còn hơn thế. Vì , ngay cả các vấn đề nằm ở cấp độ "vài đầu tiên" của " " trong thực tế trong (hệ thống phân cấp sụp đổ), được chứa trong không gian bình phương log. $\mathsf{NL} = \mathsf{coNL} \subseteq \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NL}$

— Joshua Grochow
nguồn

Đây là một câu trả lời rất thú vị.

— Suresh Venkat

Cảm ơn Joshua, đây thực sự là một quan sát tốt đẹp. Nó gợi ý một quan điểm nhận thức luận: những gì trông tự nhiên đối với con người có độ phức tạp định lượng hạn chế.

— Kaveh