Khi xem xét các tương tác trên các mạng, thường rất khó để tính toán động lực học một cách phân tích và các phép tính gần đúng được sử dụng. Các xấp xỉ trường trung bình thường kết thúc hoàn toàn bỏ qua cấu trúc mạng và do đó hiếm khi là một xấp xỉ tốt. Một xấp xỉ phổ biến là xấp xỉ cặp, xem xét các mối tương quan vốn có giữa các nút liền kề (theo trực giác chúng ta có thể nghĩ về nó như một loại xấp xỉ trường trung bình trên các cạnh).
Phép tính gần đúng là chính xác nếu chúng ta đang xem xét các biểu đồ của Cayley và rất tốt nếu chúng ta đang xem các biểu đồ ngẫu nhiên xuyên. Trong thực tế, nó cũng cung cấp các xấp xỉ tốt cho các trường hợp khi chúng ta có một biểu đồ ngẫu nhiên với mức độ trung bình k và phân phối mức độ chặt chẽ quanh k . Thật không may, rất nhiều mạng và tương tác được quan tâm, không được mô hình hóa tốt bởi các loại biểu đồ này. Chúng thường được mô hình hóa tốt bằng các biểu đồ có phân phối mức độ rất khác nhau (ví dụ như mạng không có tỷ lệ), với các hệ số phân cụm cụ thể (và cao) hoặc khoảng cách đường ngắn nhất trung bình cụ thể (để biết thêm, xem thêm Albert & Barabasi 2001 ) .
Có các sàng lọc gần đúng cặp nào hoạt động tốt cho các loại mạng này không? Hoặc có những xấp xỉ phân tích khác có sẵn?
Một ví dụ về tương tác trên mạng
Tôi nghĩ rằng tôi sẽ đưa ra một ví dụ về ý nghĩa của tôi khi tương tác trên các mạng. Tôi sẽ bao gồm một ví dụ tương đối chung từ lý thuyết trò chơi tiến hóa.
Bạn có thể nghĩ mỗi nút là một tác nhân (thường được biểu thị bằng một chiến lược), chơi một số trò chơi cố định theo cặp với từng tác nhân khác mà nó có lợi thế. Do đó, một mạng nhất định với một số phân công chiến lược cho mỗi nút sẽ tạo ra một khoản chi trả cho mỗi nút. Sau đó, chúng tôi sử dụng các khoản thanh toán này và cấu trúc mạng để xác định phân phối chiến lược giữa các nút cho lần lặp tiếp theo (Một ví dụ phổ biến có thể là cho mỗi tác nhân sao chép hàng xóm với mức chi trả cao nhất hoặc một số biến thể xác suất của điều này). Các câu hỏi chúng ta thường quan tâm tương ứng với việc biết số lượng tác nhân của từng chiến lược và cách thay đổi theo thời gian. Thông thường chúng ta có phân phối ổn định (mà sau đó chúng ta muốn biết, hoặc gần đúng) hoặc đôi khi giới hạn chu kỳ hoặc thậm chí nhiều con thú kỳ lạ hơn.
Nếu chúng ta thực hiện xấp xỉ trường trung bình trên loại mô hình này, chúng ta sẽ sử dụng phương trình sao chép làm động lực của chúng, mà bỏ qua cấu trúc mạng một cách rõ ràng và chỉ chính xác cho các biểu đồ hoàn chỉnh. Nếu chúng ta sử dụng xấp xỉ cặp (như Ohtsuki & Nowak 2006 ), chúng ta sẽ có động lực học hơi khác nhau (nó thực sự sẽ là động lực nhân bản với ma trận hoàn trả được sửa đổi, trong đó việc sửa đổi phụ thuộc vào mức độ của biểu đồ và chi tiết cụ thể của bước cập nhật) phù hợp với mô phỏng tốt cho các biểu đồ ngẫu nhiên, nhưng không phù hợp với các mạng quan tâm khác.
Đối với một ví dụ vật lý hơn: thay thế các tác nhân bằng cách quay và gọi ma trận xuất chi là Hamilton tương tác, sau đó làm mát hệ thống của bạn trong khi thực hiện các phép đo ngẫu nhiên định kỳ.
Ghi chú và câu hỏi liên quan
Các khái quát đơn giản về xấp xỉ cặp của loại xem xét một loại xấp xỉ trường trung bình trên bộ ba hoặc bốn nút) là không hiệu quả và vẫn không tính đến các phân phối mức độ khác nhau hoặc khoảng cách đường trung bình ngắn nhất.