Đối với một mặt phẳng nhúng đồ thị phẳng trên mặt phẳng có các cạnh thẳng, hãy xác định một đỉnh là một đỉnh nhọn nếu góc tối đa giữa hai cạnh liên tiếp xung quanh nó lớn hơn 180. Hay nói cách khác, nếu có một đường thẳng đi qua đó đỉnh trong nhúng sao cho tất cả các sự cố cạnh trên đỉnh đó nằm ở một bên của dòng, sau đó đỉnh là "sắc nét" nếu không thì không. Ngoài ra, chúng ta chỉ lo lắng về các đỉnh có độ ít nhất là 3.
Tôi muốn vẽ đồ thị phẳng với một vài đỉnh nhọn. Có ai đã nghiên cứu bản vẽ như vậy trước đây?
Cụ thể, tôi muốn vẽ đồ thị hai mặt phẳng với độ 3 tối đa sao cho số đỉnh sắc nét của độ 3 trong nhúng là và tọa độ của các đỉnh có thể được ghi lại bằng số bit đa thức.
Đây là những gì tôi có thể tìm thấy sau khi dành một chút thời gian cho Google Scholar:
Thước đo độ sắc nét của một đỉnh của tôi có liên quan đến một khái niệm đã được nghiên cứu gọi là Độ phân giải góc . Từ Wikipedia:
Độ phân giải góc của bản vẽ đồ thị đề cập đến góc nhọn nhất được hình thành bởi bất kỳ hai cạnh nào gặp nhau tại một đỉnh chung của bản vẽ.
Do đó, một bản vẽ phẳng với độ phân giải góc quanh các đỉnh bậc 3 sẽ tốt cho mục đích của tôi.
Đối với một đỉnh có độ trong bản vẽ, độ phân giải góc xung quanh nó có thể nhiều nhất là .
Câu hỏi liệu điều này có chặt chẽ đã được nghiên cứu trong quá khứ không, nhưng tôi chỉ có thể tìm thấy kết quả tiệm cận. Ví dụ, Malitz và Papakostas chứng minh rằng bất kỳ đồ thị phẳng nào có độ tối đa có thể được vẽ với độ phân giải góc là . Nhưng kết quả này không mang lại giới hạn tốt cho trường hợp khi .