?

Trong khi đọc blog của Dick Lipton, tôi tình cờ thấy một sự thật sau đây gần cuối bài viết Bourne Factor của anh ấy :

Nếu, với mọi , tồn tại một mối quan hệ của mẫu nơi , và mỗi , và là có chiều dài chút, sau đó thanh toán có đa thức mạch có kích thước. $n$
$(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}$ $(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$ $m = poly(n)$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $poly(n)$

Nói cách khác,, có số bit theo cấp số nhân , có khả năng có thể được biểu diễn một cách hiệu quả. $(2^n)!$

Tôi có một vài câu hỏi:

Ai đó có thể cung cấp bằng chứng về mối quan hệ trên, cho tôi biết tên và / hoặc cung cấp bất kỳ tài liệu tham khảo nào không?
Nếu tôi là cung cấp cho bạn , và mỗi , và , bạn có thể cung cấp cho tôi một thuật toán thời gian đa thức để kiểm tra tính hợp lệ của các mối quan hệ (tức là nó trong )? $n$ $m$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $NP$

— người dùng834
nguồn

Không phải bài viết trên blog thực sự yêu cầu ngược lại? Đó là, nếu phương trình có dạng trên

(2^{n})! = \sum \dots

$(2^n)! = \sum \cdots$ có giải pháp nói chung , sau đó thanh toán có mạch đa thức cỡ.

— mikero

n

$n$

n

$n$

n

$n$

@mikero, SashoNikolov, cả hai bạn đều đúng, tôi xin lỗi. Tôi đã chỉnh sửa câu hỏi của tôi.

— dùng834

lưu ý rằng "thuật toán thời gian đa thức" thường có nghĩa là một thuật toán thống nhất. Bài viết của Lipton chỉ khẳng định sự tồn tại của một gia đình mạch polysize để bao thanh toán.

— Sasho Nikolov

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

p o l y (n)

$poly(n)$

p o l y (2^{n})

$poly(2^n)$

(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}

$(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$

n

$n$

$(2^n)!$ $(2^n)!\bmod x$ $x$ $x$

Bây giờ, nếu chúng ta có thể tính toán Cho độc đoán , chúng ta có thể yếu tố : sử dụng tìm kiếm nhị phân, tìm nhỏ nhất như rằng (mà chúng tôi có thể tính toán sử dụng ). Khi đó phải là ước nguyên tố nhỏ nhất của . $y!\bmod x$ $y$ $x$ $y$ $\gcd(x,y!)\ne1$ $\gcd(x,(y!\bmod x))$ $y$ $x$

Nếu chúng ta chỉ có thể thực hiện quyền hạn cho , chúng ta vẫn có thể cố gắng tính Cho mọi . Một trong số này sẽ là ước số không cần thiết của , ngoại trừ trường hợp không may khi có sao cho là số tiền tương ứng vớivà chia. Điều này tương đương với việc nói rằng có hình vuông và tất cả các thừa số nguyên tố của nó có cùng độ dài bit. Tôi không biết phải làm gì trong trường hợp này (khá quan trọng, xem số nguyên Blum). $2$ $y$ $\gcd(x,(2^n)!)$ $n\le\log x$ $x$ $n$ $x$ $(2^n)!$ $(2^{n+1})!$ $x$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica
nguồn

Nếu mối quan hệ giữ (cho tất cả ), thì có lẽ nó cũng nắm giữ (với một sự lựa chọn khác nhau của , và ) khi một thay thế với một (nhỏ) nguyên tố, . Người ta có thể tìm kiếm cho đến khi tìm thấy sao cho ứng vớivà không

n

$n$

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

2

$2$

p

$p$

p

$p$

x

$x$

(p^{n})!

$(p^n)!$

(p^{n + 1})!

$(p^{n+1})!$

— dùng834